"Kvaziconcave" je matematický koncept, ktorý má v ekonómii niekoľko aplikácií. Aby sme pochopili význam aplikácií tohto pojmu v ekonómii, je užitočné začať stručným zvážením pôvodu a významu tohto pojmu v matematike.
Pôvod termínu
Termín „kvázikontakt“ sa zaviedol začiatkom 20. storočia v diele Johna von Neumanna, Wernera Fenchela a Bruna de Finettiho, všetkých významných matematici so záujmom o teoretickú aj aplikovanú matematiku, ich výskum v oblastiach ako teória pravdepodobnosti, teória hier a topológia nakoniec položili základy pre nezávislý výskumný odbor známy ako „všeobecná konvexita“. Zatiaľ čo výraz „kvázi konkávne“ má uplatnenie v mnohých oblastiach, počítajúc do toho ekonómie, vychádza z oblasti zovšeobecnenej konvexity ako topologického konceptu.
Definícia topológie
Wayne State Mathematics profesor Robert Bruner stručné a čitateľné vysvetlenie topológie začína pochopením, že topológia je špeciálna forma geometria. To, čo odlišuje topológiu od iných geometrických štúdií, je to, že topológia zaobchádza s geometrickými útvarmi ako s bytosťou v podstate („topologicky“) ekvivalent, ak ich ohýbaním, skrútením a iným skreslením môžete zmeniť ostatný.
Znie to trochu čudne, ale zvážte, že ak si zoberiete kruh a začnete sa rozbíjať zo štyroch smerov, opatrným tláčaním môžete vytvoriť štvorec. Štvorec a kruh sú teda topologicky ekvivalentné. Podobne, ak ohnete jednu stranu trojuholníka, až kým si niekde pozdĺž tejto strany nevytvoríte ďalší roh, s väčším ohýbaním, tlačením a ťahaním, môžete z trojuholníka urobiť štvorec. Trojuholník a štvorec sú opäť topologicky ekvivalentné.
Kvázikontakt ako topologické vlastníctvo
Quasiconcave je topologická vlastnosť, ktorá zahŕňa konkávnosť. Ak grafujete matematickú funkciu a graf vyzerá viac-menej ako zle vyrobená misa s niekoľkými hrčkami v ňom má stále priehlbinu v strede a dva konce, ktoré sa nakláňajú nahor, čo je kvázi-konkávna funkcia.
Ukazuje sa, že konkávna funkcia je iba špecifickým príkladom kvázi-konkávnej funkcie - funkcia bez hrbolkov. Z pohľadu laika (matematik má presnejší spôsob jeho vyjadrenia), kvázi konkávna funkcia zahŕňa všetky konkávne funkcie a tiež všetky funkcie, ktoré sú celkovo konkávne, ale ktoré môžu mať časti, ktoré sú skutočne konvexné. Znovu si predstavte zle vyrobenú misku s niekoľkými hrbolkami a výčnelkami.
Aplikácie v ekonomike
Jedným zo spôsobov matematického zastupovania spotrebiteľských preferencií (ako aj mnohých iných správaní) je použitie úžitková funkcia. Ak napríklad spotrebitelia uprednostňujú dobrý A pred dobrý B, úžitková funkcia U vyjadruje túto preferenciu ako:
U (A)> U (B)
Ak túto funkciu grafujete pre skupinu spotrebiteľov a tovaru v skutočnom svete, možno zistíte, že graf vyzerá trochu ako misa - namiesto priamky je v strede priehyb. Táto prehĺbenina vo všeobecnosti predstavuje averziu spotrebiteľov k riziku. Opäť platí, že v reálnom svete nie je táto averzia konzistentná: graf spotrebiteľských preferencií vyzerá trochu ako nedokonalá misa, v ktorej je niekoľko hrčiek. Namiesto toho, aby bol konkávny, je spravidla konkávny, ale nie úplne tak v každom bode grafu, ktorý môže mať menšie časti konvexnosti.
Inými slovami, náš vzorový graf spotrebiteľských preferencií (podobne ako mnoho príkladov zo skutočného sveta) je kvázi-konkávny. Hovorí každému, kto sa chce dozvedieť viac o správaní spotrebiteľov - napríklad ekonómovia a spoločnosti predávajúce spotrebný tovar - kde a ako zákazníci reagujú na zmeny v dobrých množstvách alebo nákladoch.