Asociatívne a komutatívne vlastnosti

Existuje niekoľko matematických vlastností, ktoré sa používajú v štatistika a pravdepodobnosť; dve z nich, komutatívne a asociatívne vlastnosti, sú vo všeobecnosti spojené so základnou aritmetikou celé čísla, odôvodnenia a skutočné čísla, aj keď sa objavujú aj v pokročilejšej matematike.

Tieto vlastnosti - komutatívne a asociatívne - sú veľmi podobné a dajú sa ľahko zmiešať. Z tohto dôvodu je dôležité porozumieť rozdielu medzi nimi.

Komutatívny majetok sa týka poradia určitých matematických operácií. Pre binárnu operáciu - operáciu, ktorá zahŕňa iba dva prvky - to môže byť znázornené rovnicou a + b = b + a. Operácia je komutatívna, pretože poradie prvkov nemá vplyv na výsledok operácie. Asociatívne vlastníctvo sa na druhej strane týka zoskupenia prvkov v operácii. Môže to byť znázornené rovnicou (a + b) + c = a + (b + c). Zoskupenie prvkov, ako je uvedené v zátvorkách, nemá vplyv na výsledok rovnice. Všimnite si, že keď sa použije komutatívna vlastnosť, prvky v rovnici sú rearanžovaný. Keď sa použije asociatívna vlastnosť, prvky sú iba preskupenia.

Jednoducho povedané, komutatívna vlastnosť uvádza, že faktory v rovnici sa dajú voľne usporiadať bez ovplyvnenia výsledku rovnice. Komutatívny majetok sa preto týka poradia operácií vrátane sčítania a násobenia reálnych čísel, celých čísel a racionálnych čísel.

Napríklad čísla 2, 3 a 5 sa môžu sčítavať v akomkoľvek poradí bez ovplyvnenia konečného výsledku:

2 + 3 + 5 = 10

3 + 2 + 5 = 10

5 + 3 + 2 = 10

Čísla môžu byť podobne vynásobené v akomkoľvek poradí bez ovplyvnenia konečného výsledku:

2 x 3 x 5 = 30

3 x 2 x 5 = 30

5 x 3 x 2 = 30

Odčítanie a rozdelenie však nie sú operácie, ktoré môžu byť komutatívne, pretože poradie operácií je dôležité. Tri vyššie uvedené čísla nemôžunapríklad odpočítať v akomkoľvek poradí bez ovplyvnenia konečnej hodnoty:

2 - 3 - 5 = -6

3 - 5 - 2 = -4

5 - 3 - 2 = 0

Výsledkom je, že komutatívna vlastnosť môže byť vyjadrená pomocou rovníc a + b = b + a a x b = b x a. Bez ohľadu na poradie hodnôt v týchto rovniciach budú výsledky vždy rovnaké.

Asociatívne vlastníctvo uvádza, že zoskupenie faktorov v operácii sa môže zmeniť bez ovplyvnenia výsledku rovnice. Toto sa dá vyjadriť pomocou rovnice a + (b + c) = (a + b) + c. Bez ohľadu na to, ktorý pár hodnôt v rovnici sa pridá ako prvý, výsledok bude rovnaký.

Napríklad vezmite rovnicu 2 + 3 + 5. Bez ohľadu na to, ako sú hodnoty zoskupené, výsledok rovnice bude 10:

(2 + 3) + 5 = (5) + 5 = 10

2 + (3 + 5) = 2 + (8) = 10

Ako pri komutatívnej vlastnosti, príklady operácií, ktoré sú asociatívne, zahŕňajú sčítanie a násobenie reálnych čísel, celých čísel a racionálnych čísel. Na rozdiel od komutatívnej vlastnosti sa však asociatívna vlastnosť môže vzťahovať aj na násobenie matíc a zloženie funkcií.

Podobne ako komutatívne majetkové rovnice, asociatívne majetkové rovnice nemôžu obsahovať odčítanie reálnych čísel. Vezmime napríklad aritmetický problém (6 - 3) - 2 = 3 - 2 = 1; ak zmeníme zoskupenie zátvoriek, máme 6 - (3 - 2) = 6 - 1 = 5, čo zmení konečný výsledok rovnice.

Rozdiel medzi asociatívnou a komutatívnou vlastnosťou môžeme zistiť položením otázky: „Meníme poradie prvky alebo meníme zoskupenie prvkov? “ Ak sú prvky usporiadané, potom komutatívna vlastnosť platí. Ak sa prvky iba zoskupujú, použije sa asociatívna vlastnosť.

Upozorňujeme však, že samotná prítomnosť zátvoriek nevyhnutne neznamená, že sa uplatňuje asociatívne vlastníctvo. Napríklad:

(2 + 3) + 4 = 4 + (2 + 3)

Táto rovnica je príkladom komutatívnej vlastnosti sčítania reálnych čísel. Ak však tejto rovnici venujeme zvýšenú pozornosť, vidíme, že sa zmenil iba poradie prvkov, nie zoskupovanie. Aby sa mohla uplatniť asociatívna vlastnosť, museli by sme tiež zmeniť usporiadanie skupín prvkov:

(2 + 3) + 4 = (4 + 2) + 3