Pochopenie definície symetrického rozdielu

Teória množín používa množstvo rôznych operácií na zostavenie nových súborov zo starých. Existuje niekoľko spôsobov, ako vybrať určité prvky z daných množín a zároveň vylúčiť iné. Výsledkom je zvyčajne sada, ktorá sa líši od pôvodných. Je dôležité mať dobre definované spôsoby zostavenia týchto nových súborov a ich príklady zahŕňajú zväz, križovatkaa rozdiel dvoch sád. Nastavená operácia, ktorá je možno menej známa, sa nazýva symetrický rozdiel.

Aby sme pochopili definíciu symetrického rozdielu, musíme najprv porozumieť slovu „alebo“. Aj keď slovo „alebo“ je malé, má v anglickom jazyku dve odlišné použitia. Môže byť exkluzívny alebo inkluzívny (a použil sa výlučne v tejto vete). Ak sa dozvieme, že si môžeme vybrať z A alebo B a zmysel je výlučný, potom môžeme mať iba jednu z týchto dvoch možností. Ak je zmysel inkluzívny, potom môžeme mať A, môžeme mať B, alebo môžeme mať aj A aj B.

Kontext nás zvyčajne vedie, keď narazíme na slovo alebo nemusíme premýšľať o tom, ako sa používa. Ak sa nás opýta, či by sme chceli smotanu alebo cukor v našej

Slovo „alebo“ sa teda v definícii únie používa v inkluzívnom zmysle. Spojenie množín A a B je množina prvkov buď A alebo B (vrátane tých prvkov, ktoré sú v oboch množinách). Ale stojí za to mať operáciu množiny, ktorá zostavuje množinu obsahujúcu prvky v A alebo B, kde „alebo“ sa používa vo výlučnom zmysle. Tomu sa hovorí symetrický rozdiel. Symetrický rozdiel množín A a B sú tie prvky v A alebo B, ale nie v A aj B. Kým notácia sa líši pre symetrický rozdiel, budeme to písať ako A ∆ B

Ako príklad symetrického rozdielu vezmeme do úvahy množiny = {1,2,3,4,5} a B = {2,4,6}. Symetrický rozdiel medzi týmito sadami je {1,3,5,6}.

Na definovanie symetrického rozdielu je možné použiť aj iné operácie. Z vyššie uvedenej definície je zrejmé, že môžeme vyjadriť symetrický rozdiel A a B ako rozdiel zjednotenia A a B a priesečník A a B. V symboloch píšeme: A ∆ B = (A ∪ B) - (A ∩ B).

Ekvivalentný výraz, ktorý používa niektoré rôzne operácie množín, pomáha vysvetliť symetrický rozdiel názvu. Skôr než použijeme vyššie uvedenú formuláciu, môžeme symetrický rozdiel napísať nasledovne: (A - B) ∪ (B - A). Tu opäť vidíme, že symetrický rozdiel je množina prvkov v A, ale nie B, alebo v B, ale nie A. Vylúčili sme teda tieto prvky v priesečníku A a B. Matematicky je možné dokázať, že tieto dva vzorce sú rovnocenné a vzťahujú sa na rovnaký súbor.

Názov symetrický rozdiel naznačuje spojenie s rozdielom dvoch sád. Tento rozdiel je zrejmý v obidvoch vyššie uvedených vzorcoch. V každej z nich bol vypočítaný rozdiel dvoch sád. Čo odlišuje symetrický rozdiel od rozdielu, je jeho symetria. Konštrukciou je možné zmeniť úlohy A a B. Toto neplatí pre rozdiel medzi dvoma sadami.

Aby som zdôraznil tento bod, s trochou práce uvidíme symetriu symetrického rozdielu, ktorý vidíme A ∆ B = (A - B) ∪ (B - A) = (B - A) ∪ (A - B) = B ∆ A.