Čo je štatistika kurtózy?

Distribúcie údajov a pravdepodobnostné rozdelenia nie sú rovnaké. Niektoré sú asymetrické a skosený doľava alebo doprava. Iné distribúcie sú bimodálnej a majú dva vrcholy. Ďalším znakom, ktorý treba vziať do úvahy pri rozprávaní o distribúcii, je tvar chvostov distribúcie úplne vľavo a úplne vpravo. Kurtóza je miera hrúbky alebo ťažkosti chvostov distribúcie. Kurtóza distribúcie je v jednej z troch kategórií klasifikácie:

• Mesokurtic
• Leptokurtic
• Platykurtic

Každú z týchto klasifikácií budeme posudzovať postupne. Naše skúmanie týchto kategórií nebude také presné, ako by sme mohli byť, keby sme použili technické matematické vymedzenie kurtózy.

Kurtóza sa zvyčajne meria s ohľadom na normálne rozdelenie. Distribúcia, ktorá má chvosty tvarované zhruba rovnakým spôsobom ako akékoľvek normálne rozdelenie, nielen štandardné normálne rozdelenie, je považovaný za mezokurtický. Kurtóza mezokurtovej distribúcie nie je vysoká ani nízka, skôr sa považuje za východiskovú hodnotu pre ďalšie dve klasifikácie.

okrem normálne rozdelenie, binomické distribúcie, pre ktoré p Hodnota blízka 1/2 sa považuje za mezokurtovú.

Leptokurtová distribúcia je distribúcia, ktorá má kurtózu väčšiu ako distribúcia mezokurtovej. Leptokurtové distribúcie sú niekedy identifikované vrcholmi, ktoré sú tenké a vysoké. Chvosty týchto rozdelení, vpravo aj vľavo, sú silné a ťažké. Leptokurtové distribúcie sú pomenované predponou „lepto“, čo znamená „chudá“.

Existuje mnoho príkladov leptokurtovej distribúcie. Jedným z najznámejších leptokurtických distribúcií je Rozloženie študenta.

Tretia klasifikácia kurtózy je platykurtická. Platykurtické distribúcie sú tie, ktoré majú štíhle chvosty. Mnohokrát majú vrchol nižší ako mesokurtické rozdelenie. Názov týchto distribúcií pochádza z významu predpony „platy“, čo znamená „široký“.

všetko uniforma distribúcie sú platykurtické. Okrem toho, oddelený Pravdepodobnosť distribúcie z jediného vyhodenia mincí je platykurtická.

Tieto klasifikácie kurtózy sú stále trochu subjektívne a kvalitatívne. Aj keď by sme mohli vidieť, že distribúcia má hrubšie chvosty ako normálna distribúcia, čo keď nemáme graf normálnej distribúcie, ktorý by sme porovnali? Čo ak chceme povedať, že jedna distribúcia je leptokurtickejšia ako druhá?

Na zodpovedanie týchto druhov otázok potrebujeme nielen kvalitatívny popis kurtózy, ale aj kvantitatívne opatrenie. Použitý vzorec je μ₄/σ⁴ kde μ₄ je Pearsonov štvrtý moment o priemere a sigma je štandardná odchýlka.

Teraz, keď máme spôsob, ako vypočítať kurtózu, môžeme porovnávať získané hodnoty skôr ako tvary. Normálna distribúcia má kurtózu tri. Toto sa teraz stáva naším základom pre mezokurtické distribúcie. Distribúcia s kurtózou vyššou ako tri je leptokurtická a distribúcia s kurtózou menšou ako tri je platykurtická.

Pretože mezokurtovú distribúciu považujeme za východiskovú hodnotu pre ďalšie distribúcie, môžeme od štandardného výpočtu kurtózy odpočítať tri. Vzorec μ₄/σ⁴ - 3 je vzorec pre nadmernú kurtózu. Potom by sme mohli klasifikovať distribúciu z jej nadmernej kurtózy:

• Mezokurtické distribúcie majú nadmernú kurtózu nulovú.
• Platykurtické distribúcie majú negatívnu nadmernú kurtózu.
• Leptokurtové distribúcie majú pozitívnu nadmernú kurtózu.

Slovo kurtóza sa v prvom alebo druhom čítaní javí ako zvláštne. V skutočnosti to dáva zmysel, ale musíme vedieť gréčtinu, aby sme to uznali. Kurtóza je odvodená z prepisu gréckeho slova kurtos. Toto grécke slovo má význam „klenutý“ alebo „vydutý“, čo z neho robí výstižný opis pojmu známeho ako kurtóza.