Čo sú to axiómy pravdepodobnosti?

Jednou z stratégií v matematike je začať s niekoľkými tvrdeniami, potom z týchto tvrdení vybudovať viac matematiky. Začiatočné príkazy sa nazývajú axiómy. Axiom je zvyčajne niečo, čo je matematicky zrejmé. Z relatívne krátkeho zoznamu axiómov sa deduktívna logika používa na preukázanie iných tvrdení, ktoré sa nazývajú vety alebo výroky.

Oblasť matematiky známa ako pravdepodobnosť sa nelíši. Pravdepodobnosť sa môže znížiť na tri axiómy. Prvýkrát to urobil matematik Andrei Kolmogorov. Hrsť axiómov, ktoré sú základnou pravdepodobnosťou, možno použiť na odvodenie všetkých druhy výsledkov. Aké sú tieto axiómy pravdepodobnosti?

Aby sme pochopili axiómy pravdepodobnosti, musíme najskôr diskutovať o niektorých základných definíciách. Predpokladáme, že máme súbor výsledkov nazývaných vzorkový priestor S. Tento vzorkový priestor možno považovať za univerzálny súbor pre situáciu, ktorú študujeme. Vzorový priestor sa skladá z podmnožín nazývaných udalosti E₁, E₂,..., E_n.

Predpokladáme tiež, že existuje spôsob, ako priradiť pravdepodobnosť každej udalosti E. Možno to považovať za funkciu, ktorá má množinu pre vstup a a Reálne číslo ako výstup. Pravdepodobnosť udalosťE je označený P(E).

Prvá axióma pravdepodobnosti je, že pravdepodobnosť akejkoľvek udalosti je nezáporné reálne číslo. To znamená, že najmenšia pravdepodobnosť, aká môže byť, je nula a nemôže byť nekonečná. Súbor čísel, ktoré môžeme použiť, sú skutočné čísla. Toto sa týka racionálnych čísel, známych aj ako zlomky, a iracionálnych čísel, ktoré nemožno zapísať ako zlomky.

Jedna vec na vedomie je, že táto axióma nehovorí nič o tom, aká veľká je pravdepodobnosť udalosti. Axiom vylučuje možnosť negatívnych pravdepodobností. Odráža názor, že najmenšia pravdepodobnosť vyhradená pre nemožné udalosti je nulová.

Druhá axióma pravdepodobnosti je, že pravdepodobnosť celého priestoru vzorky je jedna. Symbolicky píšeme P(S) = 1. V tomto axióme je implikovaná predstava, že priestor vzorky je pre náš pravdepodobný experiment všetko možné a že mimo priestoru vzorky nie sú žiadne udalosti.

Samotná táto axióma nestanovuje hornú hranicu pravdepodobnosti udalostí, ktoré nie sú celým priestorom vzorky. Odráža to, že niečo s absolútnou istotou má pravdepodobnosť 100%.

Tretia axióma pravdepodobnosti sa zaoberá vzájomne sa vylučujúcimi udalosťami. ak E₁ a E₂ sú vzájomne sa vylučujúce, čo znamená, že majú prázdnu križovatku a potom pomocou U označujeme spojenie P(E₁ U E₂ ) = P(E₁) + P(E₂).

Axiom v skutočnosti pokrýva situáciu niekoľkými (dokonca nespočetne nekonečnými) udalosťami, z ktorých sa každá dvojica navzájom vylučuje. Pokiaľ k tomu dôjde, pravdepodobnosť únie udalostí je rovnaká ako súčet pravdepodobností:

P(E₁ U E₂ U... U E_n ) = P(E₁) + P(E₂) +... + E_n

Aj keď sa táto tretia axióma nemusí zdať tak užitočná, uvidíme, že v kombinácii s ďalšími dvoma axiómami je skutočne dosť silná.

Tri axiómy stanovili hornú hranicu pravdepodobnosti akejkoľvek udalosti. Označujeme doplnok udalosti E podľa E^C. Z teórie množín E a E^C majú prázdnu križovatku a vzájomne sa vylučujú. okrem toho E U E^C = S, celý priestor vzorky.

Tieto fakty spolu s axiómami nám dávajú:

1 = P(S) = P(E U E^C) = P(E) + P(E^C) .

Usporiadame vyššie uvedenú rovnicu a vidíme to P(E) = 1 - P(E^C). Pretože vieme, že pravdepodobnosť musí byť nezáporná, máme teraz hornú hranicu pravdepodobnosti akejkoľvek udalosti 1.

Opätovným usporiadaním vzorca máme P(E^C) = 1 - P(E). Z tohto vzorca tiež môžeme odvodiť, že pravdepodobnosť výskytu udalosti je mínus pravdepodobnosť, že sa vyskytne.

Uvedená rovnica nám tiež poskytuje spôsob výpočtu pravdepodobnosti nemožnej udalosti označenej prázdnou množinou. Aby ste to videli, nezabudnite, že prázdna súprava je v tomto prípade doplnkom univerzálnej súpravy S^C. Pretože 1 = P(S) + P(S^C) = 1 + P(S^C), podľa algebry máme P(S^C) = 0.

Vyššie uvedené je len niekoľko príkladov vlastností, ktoré je možné dokázať priamo z axiómov. Pravdepodobnosť je oveľa viac. Ale všetky tieto vety sú logickými rozšíreniami z troch axiómov pravdepodobnosti.