Pri rokovaniach teória množín, existuje niekoľko operácií na vytvorenie nových súborov zo starých. Jedna z najbežnejších množín operácií sa nazýva križovatka. Jednoducho povedané, priesečník dvoch sád a B je súbor všetkých prvkov, ktoré obidva a B majú spoločného.
Pozrime sa na podrobnosti týkajúce sa križovatky v teórii množín. Ako uvidíme, kľúčové slovo je slovo „a“.
Príklad
Ako príklad možno uviesť priesečník dvoch sád a nový set, pozrime sa na súbory = {1, 2, 3, 4, 5} a B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Aby sme našli priesečník týchto dvoch súborov, musíme zistiť, aké prvky majú spoločné. Čísla 3, 4, 5 sú prvkami oboch sád, teda priesečníky a B je {3. 4. 5].
Zápis pre priesečník
Okrem pochopenia pojmov týkajúcich sa operácií teórie množín je dôležité vedieť čítať symboly používané na označenie týchto operácií. Symbol pre priesečník sa niekedy nahrádza slovom „a“ medzi dvoma súbormi. Toto slovo naznačuje kompaktnejší zápis pre križovatku, ktorá sa zvyčajne používa.
Symbol používaný na priesečník dvoch sád
a B je daný ∩ B. Jedným zo spôsobov, ako si uvedomiť, že tento symbol ∩ sa týka križovatky, je všimnúť si jeho podobnosť s veľkým písmenom A, ktoré je skratkou slova „a“.Ak chcete vidieť tento zápis v akcii, vráťte sa späť k vyššie uvedenému príkladu. Tu sme mali súpravy = {1, 2, 3, 4, 5} a B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Takže by sme napísali stanovenú rovnicu ∩ B = {3, 4, 5}.
Priesečník s prázdnou sadou
Jedna základná identita, ktorá zahŕňa priesečník, nám ukazuje, čo sa stane, keď vezmeme priesečník ktorejkoľvek súpravy s prázdnou súpravou označenou číslom 8709. Prázdna súprava je sada bez prvkov. Ak v jednej zo sád, ktoré sa snažíme nájsť priesečník, neexistujú žiadne prvky, potom tieto dve sady nemajú spoločné prvky. Inými slovami, priesečník akejkoľvek množiny s prázdna súprava dá nám prázdny súbor.
Táto identita sa s použitím našej notácie stáva ešte kompaktnejšou. Máme identitu: ∩ ∅ = ∅.
Priesečník s univerzálnou sadou
Čo sa týka druhého extrému, čo sa stane, keď preskúmame priesečník súboru s univerzálnym súborom? Podobné ako slovo vesmír v astronómii znamená všetko, univerzálna súprava obsahuje všetky prvky. Z toho vyplýva, že každý prvok našej súpravy je tiež prvkom univerzálnej súpravy. Priesečník ktorejkoľvek súpravy s univerzálnou súpravou je teda súpravou, s ktorou sme začali.
Náš zápis opäť prichádza na záchranu, aby sme túto identitu vyjadrili stručne. Pre každú sadu a univerzálny set U, ∩ U = .
Iné totožnosti zahŕňajúce križovatku
Existuje mnoho ďalších rovníc, ktoré zahŕňajú použitie operácie križovatky. Samozrejme, vždy je dobré praxe pomocou jazyka teórie množín. Pre všetky sady a B a D máme:
- Reflexné vlastníctvo: ∩ =
- Commutative Property: ∩ B = B ∩
- Asociačné vlastníctvo: ( ∩ B) ∩ D = ∩ (B ∩ D)
- Distribučné vlastníctvo: ( ∪ B) ∩ D = ( ∩ D)∪ (B ∩ D)
- DeMorganov zákon I: ( ∩ B)C = C ∪ BC
- DeMorgan's Law II: ( ∪ B)C = C ∩ BC