Momenty v matematickej štatistike zahŕňajú základný výpočet. Tieto výpočty sa môžu použiť na nájdenie priemeru pravdepodobnosti, rozptylu a skreslenia rozdelenia pravdepodobnosti.
Predpokladajme, že máme množinu údajov s celkovým počtom noddelený bodov. Jeden dôležitý výpočet, ktorým je v skutočnosti niekoľko čísel, sa nazýva sokamih. smoment dátového súboru s hodnotami X1, X2, X3,..., Xn je daná vzorcom:
(X1s + X2s + X3s +... + Xns)/n
Použitie tohto vzorca vyžaduje, aby sme boli opatrní s naším poradím operácií. Najprv musíme urobiť exponentov, pridať a potom túto sumu vydeliť n celkový počet hodnôt údajov.
Poznámka k pojmu „okamih“
Termín moment bol prevzatý z fyziky. Vo fyzike sa okamih systému bodových hmotností počíta podľa vzorca, ktorý je rovnaký, ako je uvedený vyššie, a tento vzorec sa používa na nájdenie ťažiska bodov. V štatistike už hodnoty nie sú masy, ale ako uvidíme, momenty v štatistikách stále merajú niečo relatívne k stredu hodnôt.
Prvý okamih
Prvý moment sme sa vydali s = 1. Vzorec pre prvý okamih je takto:
(X1X2 + X3 +... + Xn)/n
Toto je rovnaké ako pre vzorku Priemerný.
Prvý okamih hodnôt 1, 3, 6, 10 je (1 + 3 + 6 + 10) / 4 = 20/4 = 5.
Druhý okamih
Druhý moment sme sa vydali s = 2. Vzorec pre druhý okamih je:
(X12 + X22 + X32 +... + Xn2)/n
Druhý moment hodnôt 1, 3, 6, 10 je (12 + 32 + 62 + 102) / 4 = (1 + 9 + 36 + 100)/4 = 146/4 = 36.5.
Tretí okamih
Na tretiu chvíľu sme sa rozhodli s = 3. Vzorec pre tretí okamih je:
(X13 + X23 + X33 +... + Xn3)/n
Tretí okamih hodnôt 1, 3, 6, 10 je (13 + 33 + 63 + 103) / 4 = (1 + 27 + 216 + 1000)/4 = 1244/4 = 311.
Vyššie momenty sa dajú vypočítať podobným spôsobom. Stačí vymeniť s vo vyššie uvedenom vzorci s číslom označujúcim požadovaný okamih.
Momenty o priemere
Súvisiaca myšlienka je sokamih o priemere. V tomto výpočte vykonávame nasledujúce kroky:
- Najprv vypočítajte priemer hodnôt.
- Potom od každej hodnoty odčítajte túto priemernú hodnotu.
- Potom zvýšite každý z týchto rozdielov na smoc.
- Teraz pridajte čísla z kroku č. 3.
- Nakoniec vydelte tento súčet počtom hodnôt, ktoré sme začali.
Vzorec pre sokamih o priemere m hodnôt X1, X2, X3,..., Xn je daný:
ms = ((X1 - m)s + (X2 - m)s + (X3 - m)s +... + (Xn - m)s)/n
Prvý okamih o priemere
Prvý okamih o priemere sa vždy rovná nule, bez ohľadu na to, s čím súbor údajov pracujeme. To možno vidieť na nasledujúcom:
m1 = ((X1 - m) + (X2 - m) + (X3 - m) +... + (Xn - m))/n = ((X1+ X2 + X3 +... + Xn) - nm)/n = m - m = 0.
Druhý okamih o priemere
Druhý okamih o priemere sa získa z vyššie uvedeného vzorca nastaveníms = 2:
m2 = ((X1 - m)2 + (X2 - m)2 + (X3 - m)2 +... + (Xn - m)2)/n
Tento vzorec je ekvivalentný vzorcu pre rozptyl vzorky.
Zoberme si napríklad množinu 1, 3, 6, 10. Priemer tohto súboru sme už vypočítali na 5. Odčítaním od každej z hodnôt údajov získate rozdiely:
- 1 – 5 = -4
- 3 – 5 = -2
- 6 – 5 = 1
- 10 – 5 = 5
Zaokrúhlime každú z týchto hodnôt a spočítame ich: (-4)2 + (-2)2 + 12 + 52 = 16 + 4 + 1 + 25 = 46. Nakoniec vydelte toto číslo počtom dátových bodov: 46/4 = 11,5
Aplikácia momentov
Ako je uvedené vyššie, prvý okamih je priemer a druhý okamih o priemere je vzorka odchýlka. Karl Pearson predstavil použitie tretieho momentu o priemere pri výpočte šikmosť a štvrtý okamih o priemere pri výpočte špicatosť.