Teória množín a ako sa používa

Teória množín je základným pojmom celej matematiky. Táto oblasť matematiky tvorí základ pre ďalšie témy.

Intuitívne je množina objektov, ktoré sa nazývajú prvky. Aj keď sa to javí ako jednoduchý nápad, má to ďalekosiahle následky.

Prvky súpravy môžu byť naozaj čokoľvek - čísla, stavy, autá, ľudia alebo iné súpravy sú všetko možnosti prvkov. Na zostavenie zostavy sa dá použiť čokoľvek, čo je možné zhromaždiť spolu, aj keď existujú určité veci, na ktoré musíme byť opatrní.

Prvky množiny sú buď v množine, alebo nie v množine. Môžeme opísať množinu definujúcou vlastnosťou alebo môžeme uviesť prvky v množine. Poradie, v ktorom sú uvedené, nie je dôležité. Takže množiny {1, 2, 3} a {1, 3, 2} sú rovnaké sady, pretože obidve obsahujú rovnaké prvky.

Osobitnú zmienku si zaslúžia dve sady. Prvým z nich je univerzálny súbor, obvykle označený U. Táto súprava obsahuje všetky prvky, z ktorých si môžeme vybrať. Táto sada sa môže líšiť od jedného nastavenia k druhému. Napríklad jedna univerzálna sada môže byť sada

Druhý súbor, ktorý vyžaduje určitú pozornosť, sa nazýva prázdna súprava. Prázdna súprava je jedinečná súprava je sada bez prvkov. Môžeme to napísať ako {} a túto množinu označiť symbolom ∅.

Zbierka niektorých prvkov množiny sa nazýva a podmnožina z . Hovoríme to je podskupina B iba vtedy, ak každý prvok je tiež prvkom B. Ak existuje konečné číslo n prvkov v sade, potom sú spolu 2ⁿ podmnožiny . Táto zbierka všetkých podmnožín systému je množina, ktorá sa nazýva sada energie z .

Rovnako ako môžeme vykonávať operácie, ako je sčítanie - na dvoch číslach na získanie nového čísla sa operácie teórie množín používajú na vytvorenie množiny z dvoch ďalších množín. Existuje niekoľko operácií, ale takmer všetky sa skladajú z nasledujúcich troch operácií:

• zväz - Únia znamená spojenie. Spojenie súprav a B pozostáva z prvkov, ktoré sú v oboch alebo B.
• križovatka - Križovatka je miesto, kde sa stretávajú dve veci. Priesečník súprav a B pozostáva z prvkov, ktoré v oboch a B.
• doplnok - Doplnok súboru pozostáva zo všetkých prvkov univerzálnej sady, ktoré nie sú prvkami .

Jeden nástroj, ktorý je užitočný pri znázorňovaní vzťahu medzi rôznymi množinami, sa nazýva Vennov diagram. Obdĺžnik predstavuje univerzálnu súpravu pre náš problém. Každá sada je reprezentovaná kruhom. Ak sa kruhy navzájom prekrývajú, ilustruje to priesečník našich dvoch sád.

Teória množín sa používa v celej matematike. Používa sa ako základ pre mnoho podpolí matematiky. V oblastiach týkajúcich sa štatistiky sa používa najmä v pravdepodobnosti. Väčšina pojmov pravdepodobnosti je odvodená z dôsledkov teórie množín. Jeden spôsob, ako uviesť pravdepodobnosti axiómov zahŕňa teóriu množín.