Čo sú konverzie, kontraceptívne a inverzné?

Podmienené výroky sa objavujú všade. V matematike alebo kdekoľvek inde netrvá dlho, kým sa dostanete do podoby formy „Ak P potom Q. " Podmienené vyhlásenia sú skutočne dôležité. Dôležité sú aj vyhlásenia, ktoré súvisia s pôvodným podmienečným vyhlásením zmenou polohy P, Q a odmietnutie vyhlásenia. Začínajúc pôvodným vyhlásením, končíme tromi novými podmienenými príkazmi, ktoré sú pomenované inverzný, kontrazitívny a obrátený.

Predtým, ako definujeme opačnú, kontrazitívnu a inverznú podmienenú výpoveď, musíme preskúmať tému negácie. Každé vyhlásenie v logika je pravdivé alebo nepravdivé. Zamietnutie tvrdenia jednoducho znamená vloženie slova „nie“ do správnej časti tvrdenia. Slovo „nie“ sa pridáva tak, aby sa zmenil stav pravdy vyhlásenia.

Pomôže sa pozrieť na príklad. Vyhlásenie „The správny trojuholník je rovnostranné “má negáciu„ Pravý trojuholník nie je rovnostranné. “ Negácia „10 je párne číslo“ je výrok „10 nie je párne číslo“. Samozrejme, za to posledný príklad by sme mohli použiť definíciu nepárneho čísla a namiesto toho povedať, že „10 je nepárne číslo.“ Poznamenávame, že pravdivosť vyhlásenia je opakom pravdivosti vyhlásenia negácia.

Túto myšlienku preskúmame v abstraktnejšom prostredí. Keď vyhlásenie P platí, že vyhlásenie „nie P“Je nepravdivé. Podobne, ak P je nepravdivé, jeho negácia „nieP" je pravda. Negácie sa bežne označujú vlnovkou. Takže namiesto písania „nie P„Môžeme napísať ~P.

Teraz môžeme definovať opačný, protichodný a inverzný podmienený výrok. Začneme podmienečným vyhlásením „Ak P potom Q.”

• Naopak, podmienečné vyhlásenie je „Ak Q potom P.”
• Druhou podmienečnou podmienkou je „Ak nie Q potom nie P.”
• Inverzia podmieneného vyhlásenia je „Ak nie P potom nie Q.”

Uvidíme, ako tieto vyhlásenia fungujú s príkladom. Predpokladajme, že začneme podmienečným vyhlásením „Ak včera pršalo, chodník je mokrý.“

• Naopak, podmienečné vyhlásenie je „Ak je chodník mokrý, potom včera pršalo.“
• Protikladom podmieneného tvrdenia je „Ak chodník nie je mokrý, tak včera v noci nepršalo.“
• Inverziou podmieneného tvrdenia je „Ak včera v noci nepršalo, chodník nie je mokrý.“

Možno sa čudujeme, prečo je dôležité zostaviť tieto ďalšie podmienečné vyhlásenia z nášho pôvodného. Dôkladný pohľad na vyššie uvedený príklad niečo odhalí. Predpokladajme, že pôvodné tvrdenie „Ak včera pršalo, je chodník mokrý“. Ktoré z ostatných tvrdení musia byť tiež pravdivé?

• Naopak, „ak je chodník mokrý, tak pršalo včera v noci“ nemusí byť nevyhnutne pravdivý. Chodník by mohol byť mokrý z iných dôvodov.
• Inverzia „Ak včera večer nepršalo, potom chodník nie je mokrý“ nemusí byť nevyhnutne pravda. Opäť to, že nepršalo, neznamená, že chodník nie je mokrý.
• Kontraktívum „Ak chodník nie je mokrý, potom včera v noci nepršalo“ je pravdivé tvrdenie.

Z tohto príkladu (a čo sa dá matematicky dokázať) vidíme, že podmienečné tvrdenie má rovnakú pravdivostnú hodnotu ako jeho kontrapositívum. Hovoríme, že tieto dve tvrdenia sú logicky rovnocenné. Vidíme tiež, že podmienené vyhlásenie nie je logicky rovnocenné s jeho opačným a inverzným spôsobom.

Pretože podmienené tvrdenie a jeho kontraceptívum sú logicky rovnocenné, môžeme to využiť vo svoj prospech, keď dokážeme matematické vety. Namiesto priameho dokazovania pravdy podmieneného tvrdenia môžeme namiesto toho použiť nepriamu stratégiu dokazovania pravdy protichodnosti tohto tvrdenia. Kontrapositívne dôkazy fungujú, pretože ak je antikoncepcia pravdivá, je z dôvodu logickej rovnocennosti pravdivé aj pôvodné podmienečné vyhlásenie.

Ukazuje sa, že aj keď inverzné a inverzné nie sú logicky ekvivalentné pôvodnému podmienenému príkazu, sú si navzájom logicky rovnocenné. Existuje jednoduché vysvetlenie. Začneme podmienečným vyhlásením „Ak Q potom P”. Protikladom tohto tvrdenia je „Ak nie P potom nie Q. " Pretože inverzia je protikladom inverzie, sú inverzia a inverzia logicky ekvivalentné.