Dôležitým znakom je rozptyl distribúcie náhodnej premennej. Toto číslo označuje šírenie distribúcie a zistí sa pomocou štvorcov smerodajná odchýlka. Jeden bežne používaný diskrétny distribúcia je distribúcia Poissonovej. Uvidíme, ako vypočítať rozptyl Poissonovho rozdelenia s parametrom λ.
Poissonova distribúcia
Poissonove rozdelenia sa používajú, keď máme nejaké kontinuum a počítame diskrétne zmeny v rámci tohto kontinua. K tomu dôjde, keď vezmeme do úvahy počet ľudí, ktorí dorazia k počítadlu vstupeniek na film v priebehu jednej hodiny počet automobilov prechádzajúcich križovatkou so štvorsmernou zastávkou alebo počítať počet chýb, ktoré sa vyskytnú v dĺžke 0,5 m; drôt.
Ak urobíme niekoľko objasňujúcich predpokladov v týchto scenároch, potom tieto situácie zodpovedajú podmienkam Poissonovho procesu. Potom hovoríme, že náhodná premenná, ktorá počíta počet zmien, má Poissonovo rozdelenie.
Poissonova distribúcia sa v skutočnosti týka nekonečnej rodiny distribúcií. Tieto distribúcie sú vybavené jedným parametrom λ. Parameter je pozitívny
Reálne číslo to úzko súvisí s očakávaným počtom zmien pozorovaných v kontinuu. Ďalej uvidíme, že tento parameter sa rovná nielen parametru Priemerný distribúcie, ale aj rozptylu distribúcie.Funkcia pravdepodobnostnej hmotnosti pre Poissonovo rozdelenie je daná:
F(X) = (λXe-λ)/X!
V tomto výraze list e je číslo a je matematická konštanta s hodnotou približne rovnou 2,718281828. Premenná X môže byť akékoľvek nezáporné celé číslo.
Výpočet odchýlky
Na výpočet priemeru Poissonovej distribúcie používame túto distribúciu funkcia generovania momentov. Vidíme to:
M( T ) = E [etX] = Σ etXF( X) = ΣetX λXe-λ)/X!
Teraz si spomíname na sériu Maclaurin for eu. Od akejkoľvek derivácie funkcie eu je eu, všetky tieto deriváty vyhodnotené na nulu nám dávajú 1. Výsledkom je séria eu = Σ un/n!.
Použitím série Maclaurin pre eu, funkciu generovania okamihov môžeme vyjadriť nie ako sériu, ale v uzavretej podobe. Všetky výrazy kombinujeme s exponentom X. teda M(T) = eλ(et - 1).
Teraz nájdeme tento rozptyl tým, že vezmeme druhú deriváciu M a vyhodnotenie na nulu. od tej doby M’(T) =λeTM(T), použijeme pravidlo produktu na výpočet druhého derivátu:
M’’(T)=λ2e2TM’(T) + λeTM(T)
Hodnotíme to na nulu a zistíme, že M’’(0) = λ2 + λ. Potom použijeme skutočnosť M'(0) = λ na výpočet rozptylu.
var (X) = λ2 + λ – (λ)2 = λ.
To ukazuje, že parameter A nie je iba priemerom Poissonovho rozdelenia, ale je aj jeho rozptylom.