Pravdepodobnosti a klamárske kocky

Mnoho hazardných hier možno analyzovať pomocou pravdepodobnostnej matematiky. V tomto článku preskúmame rôzne aspekty hry zvanej Klamárova kocka. Po opise tejto hry vypočítame pravdepodobnosti, ktoré s ňou súvisia.

Hra Liar's Dice je vlastne rodinou hier, ktoré zahŕňajú blafovanie a podvod. Existuje niekoľko variantov tejto hry, a to ide o niekoľko rôznych mien, ako sú pirátske kocky, podvod a Dudo. Verzia tejto hry bola uvedená vo filme Piráti z Karibiku: Truhlica mŕtveho muža.

Vo verzii hry, ktorú preskúmame, má každý hráč šálku a súpravu rovnakého počtu kociek. Kocky sú štandardné šesťstranné kocky, ktoré sú očíslované od jednej do šiestich. Každý hodí kockami a drží ich zakryté pohárom. V pravý čas sa hráč pozrie na svoje kocky a chráni ich pred ostatnými. Hra je navrhnutá tak, aby každý hráč mal dokonalú znalosť svojej vlastnej sady kociek, ale nemal žiadne vedomosti o ostatných koších, ktoré boli hodené.

Potom, čo mali všetci možnosť pozrieť sa na svoje kocky, ktoré boli hodené, začína sa podávanie ponúk. Na každom kole má hráč dve možnosti: urobiť vyššiu ponuku alebo zavolať predchádzajúcu ponuku klamstvu. Ponuky môžu byť vyššie tým, že ponúknete vyššiu hodnotu kocky od jednej do šiestich, alebo ponúknete väčší počet rovnakej hodnoty kocky.

Napríklad cenovú ponuku „Tri dvojičky“ je možné zvýšiť vyhlásením „Štyri dvojičky“. Mohlo by sa to tiež zvýšiť vyslovením „Tri trojky“. Všeobecne platí, že počet kociek ani hodnoty kociek sa nemôžu znížiť.

Pretože väčšina kociek je skrytá, je dôležité vedieť, ako vypočítať niektoré pravdepodobnosti. Vedomím, že je ľahšie zistiť, aké ponuky budú pravdepodobne pravdivé a ktoré budú pravdepodobne klamstvá.

Prvým dôvodom je otázka: „Koľko kociek toho istého druhu by sme očakávali?“ Napríklad, ak hodíme päť kockami, koľko z nich by sme očakávali? Odpoveď na túto otázku používa myšlienku očakávaná hodnota.

Očakávaná hodnota náhodnej premennej je pravdepodobnosť určitej hodnoty vynásobená touto hodnotou.

Pravdepodobnosť, že prvá matrica je dvojica, je 1/6. Pretože kocky sú na sebe nezávislé, pravdepodobnosť, že niektorá z nich sú dve, je 1/6. To znamená, že očakávaný počet rolovaných dvojičiek je 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6.

O výsledku dvoch, samozrejme, nie je nič zvláštne. Čo sa týka počtu kociek, ktoré sme zvažovali, nie je nič zvláštne. Keby sme sa valili n kockami, potom je očakávaný počet ktoréhokoľvek zo šiestich možných výsledkov n/6. Toto číslo je dobré vedieť, pretože nám poskytuje východiskový bod, ktorý sa má použiť pri zisťovaní ponúk predložených inými.

Napríklad, ak hráme klamárske kocky so šiestimi kockami, očakávaná hodnota ktorejkoľvek z hodnôt 1 až 6 je 6/6 = 1. To znamená, že by sme mali byť skeptickí, ak niekto ponúkne viac ako jednu hodnotu. Z dlhodobého hľadiska by sme priemerovali jednu z každej z možných hodnôt.

Predpokladajme, že hodíme piatimi kockami a chceme zistiť pravdepodobnosť hodenia dvoma trojkami. Pravdepodobnosť, že zomrie tri, je 1/6. Pravdepodobnosť, že zomrie nie sú tri, je 5/6. Role týchto kociek sú nezávislé udalosti, a preto vynásobíme pravdepodobnosti spolu pomocou pravidlo množenia.

Pravdepodobnosť, že prvé dve kocky sú trojky a ostatné kocky nie sú trojky, je daný týmto produktom:

(1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6)

Prvé dve kocky sú trojky, je len jednou možnosťou. Kocky, ktoré sú trojicami, by mohli byť ktorékoľvek dve z piatich kociek, ktoré hodíme. Označujeme matricu, ktorá nie je trojnásobná *. Nasledujú možné spôsoby, ako mať dva trojky z piatich roliek:

• 3, 3, *, * ,*
• 3, *, 3, * ,*
• 3, *, * ,3 ,*
• 3, *, *, *, 3
• *, 3, 3, *, *
• *, 3, *, 3, *
• *, 3, *, *, 3
• *, *, 3, 3, *
• *, *, 3, *, 3
• *, *, *, 3, 3

Vidíme, že existuje päť spôsobov, ako hodiť presne dve trojice z piatich kociek.

Teraz vynásobíme našu pravdepodobnosť vyššie 10 spôsobmi, ako môžeme mať túto konfiguráciu kociek. Výsledok je 10 x (1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6) = 1250/7776. To je približne 16%.

Teraz zovšeobecňujeme vyššie uvedený príklad. Zohľadňujeme pravdepodobnosť valcovania n kocky a získanie presne k ktoré majú určitú hodnotu.

Rovnako ako predtým, pravdepodobnosť rozmiestnenia požadovaného čísla je 1/6. Pravdepodobnosť nezvolenia tohto čísla je daná doplnkové pravidlo ako 5/6. Chceme k z našich kociek bude vybrané číslo. To znamená, že n - k sú iné čísla, ako chceme. Pravdepodobnosť prvého k kocky sú určité čísla s ostatnými kockami, nie toto číslo je:

(1/6)^k(5/6)^{n - k}

Bolo by únavné, nehovoriac o časovo náročné, vymenovať všetky možné spôsoby, ako hodiť konkrétnu konfiguráciu kociek. Preto je lepšie používať naše zásady počítania. Prostredníctvom týchto stratégií vidíme, že počítame kombinácie.

Existujú C (n, k) spôsoby, ako sa hodiť k určitého druhu kocky z n kocky. Toto číslo je dané vzorcom n!/(k!(n - k)!)

Keď dáme všetko dokopy, vidíme to, keď sa valíme n kocky, pravdepodobnosť, že presne k z nich sú konkrétne čísla dané vzorcom:

[n!/(k!(n - k)!)] (1/6)^{k(5/6)n - k}

Existuje iný spôsob, ako zvážiť tento typ problému. Toto zahŕňa binomické rozdelenie s pravdepodobnosťou úspechu p = 1/6. Vzorec presne k z toho, že tieto kocky sú určitým počtom, je známe ako funkcia pravdepodobnostnej hmotnosti pre binomické distribúcia.

Ďalšou situáciou, ktorú by sme mali zvážiť, je pravdepodobnosť, že bude k dispozícii aspoň určitý počet určitej hodnoty. Napríklad, keď hodíme päť kockami, aká je pravdepodobnosť hodenia najmenej troch? Mohli by sme hodiť tri, štyri alebo päť. Aby sme určili pravdepodobnosť, ktorú chceme nájsť, spočítame tri pravdepodobnosti.

Nižšie uvádzame tabuľku pravdepodobnosti presného získania k určitej hodnoty, keď hodíme päť kockami.

Ďalej uvažujeme nasledujúcu tabuľku. To dáva pravdepodobnosť hodenia aspoň určitého počtu hodnôt, keď hodíme celkom päť kockami. Vidíme, že hoci je veľmi pravdepodobné, že hodí aspoň jedno 2, nie je také pravdepodobné, že hodí najmenej štyri 2.