Jedna vec, ktorá je na matematike veľká, je spôsob, akým sa zdanlivo nesúvisiace oblasti predmetu spájajú prekvapujúcimi spôsobmi. Jedným z príkladov je použitie nápadu z počtu zvonová krivka. Na zodpovedanie nasledujúcej otázky sa používa nástroj v kalkulu známy ako derivát. Kde sú inflexné body v grafe funkcie hustoty pravdepodobnosti pre normálu distribúcia?
Krivky majú rôzne vlastnosti, ktoré je možné klasifikovať a kategorizovať. Jedna položka týkajúca sa kriviek, ktorú môžeme vziať do úvahy, je to, či graf funkcie stúpa alebo klesá. Ďalšia vlastnosť sa týka niečoho, čo sa nazýva konkávnosť. To sa dá zhruba považovať za smer, ktorým čelí časť krivky. Formálne konkávnosť je smer zakrivenia.
Časť krivky je označená ako konkávna, ak má tvar písmena U. Časť krivky je konkávna dole, ak je v tvare nasledujúceho ∩. Je ľahké zapamätať si, ako to vyzerá, keď uvažujeme o otvorení jaskyne smerom nahor pre konkávne hore alebo dole pre konkávne dole. Inflexný bod je miesto, kde krivka mení konkávnosť. Inými slovami je to bod, v ktorom krivka prechádza z konkávneho na konkávny dole alebo naopak.
V kalkulu je derivát nástrojom, ktorý sa používa rôznymi spôsobmi. Zatiaľ čo najznámejšie použitie derivátu je určiť sklon priamky dotýkajúcej sa krivky v danom bode, existujú aj ďalšie aplikácie. Jedna z týchto aplikácií sa týka nájdenia inflexných bodov grafu funkcie.
Ak je graf y = f (x) má inflexný bod na x = a, potom druhý derivát F hodnotené na je nula. Píšeme to v matematickom zápise ako f '(a) = 0. Ak je druhá derivácia funkcie v bode nula, neznamená to automaticky, že sme našli inflexný bod. Môžeme však hľadať potenciálne inflexné body tým, že uvidíme, kde je druhá derivácia nula. Túto metódu použijeme na určenie umiestnenia inflexných bodov normálneho rozdelenia.
Z toho je ľahké vidieť, že inflexné body sa vyskytujú tam, kde x = μ ± σ. Inými slovami, inflexné body sú umiestnené o jednu štandardnú odchýlku nad strednou hodnotou a jednu štandardnú odchýlku pod strednou hodnotou.