Pravdepodobnosť vystrelenia troch kociek

Kocky poskytujú skvelé ilustrácie pre koncepcie pravdepodobnosti. Najčastejšie používanými kockami sú kocky so šiestimi stranami. Tu uvidíme, ako vypočítať pravdepodobnosť hodenia tromi štandardnými kockami. Je pomerne štandardným problémom vypočítať pravdepodobnosť súčtu získaného hodením dvoma kockami. Existuje celkom 36 rôznych roliek s dvoma kockami, s možnou sumou od 2 do 12.Ako sa zmení problém, keď pridáme ďalšie kocky?

Rovnako ako jedna kostka má šesť výsledkov a dve kocky majú 6² = 36 výsledkov, pravdepodobnostný experiment s hodením troch kociek má 6³ = 216 výsledkov. Táto myšlienka zovšeobecňuje ďalšie kocky. Ak sa hodíme n kocky sú potom 6ⁿ výstupy.

Môžeme tiež zvážiť možné sumy z hádzania niekoľkých kociek. Najmenšia možná suma nastane, keď sú všetky kocky najmenšie alebo každá z nich. Toto dáva súčet troch, keď hodíme tri kocky. Najväčší počet na matrici je šesť, čo znamená, že k najväčšiemu možnému súčtu dochádza, keď všetky tri kocky sú šestky. Súčet tejto situácie je 18.

Kedy n kocky sú hodené, najmenšia možná suma je n a najvyššia možná suma je 6n.

• Existuje jeden možný spôsob, ako môžu celkom tri kocky 3
• 3 spôsoby pre 4
• 6 na 5
• 10 na 6
• 15 na 7
• 21 na 8
• 25 za 9
• 27 za 10
• 27 za 11
• 25 na 12
• 21 na 13
• 15 na 14
• 10 na 15
• 6 na 16
• 3 pre 17
• 1 na 18

Ako je uvedené vyššie, pre tri kocky možné sumy zahŕňajú každé číslo od troch do 18. Pravdepodobnosti je možné vypočítať pomocou stratégie počítania a uznávame, že hľadáme spôsoby, ako rozdeliť číslo na presne tri celé čísla. Napríklad jediný spôsob, ako získať súčet troch, je 3 = 1 + 1 + 1. Pretože každá matrica je nezávislá od ostatných, súčet, ako sú štyri, možno získať tromi rôznymi spôsobmi:

• 1 + 1 + 2
• 1 + 2 + 1
• 2 + 1 + 1

Na zistenie počtu spôsobov tvorby ostatných súm možno použiť ďalšie argumenty týkajúce sa počítania. Rozdelenia pre každú sumu nasledujú:

• 3 = 1 + 1 + 1
• 4 = 1 + 1 + 2
• 5 = 1 + 1 + 3 = 2 + 2 + 1
• 6 = 1 + 1 + 4 = 1 + 2 + 3 = 2 + 2 + 2
• 7 = 1 + 1 + 5 = 2 + 2 + 3 = 3 + 3 + 1 = 1 + 2 + 4
• 8 = 1 + 1 + 6 = 2 + 3 + 3 = 4 + 3 + 1 = 1 + 2 + 5 = 2 + 2 + 4
• 9 = 6 + 2 + 1 = 4 + 3 + 2 = 3 + 3 + 3 = 2 + 2 + 5 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4
• 10 = 6 + 3 + 1 = 6 + 2 + 2 = 5 + 3 + 2 = 4 + 4 + 2 = 4 + 3 + 3 = 1 + 4 + 5
• 11 = 6 + 4 + 1 = 1 + 5 + 5 = 5 + 4 + 2 = 3 + 3 + 5 = 4 + 3 + 4 = 6 + 3 + 2
• 12 = 6 + 5 + 1 = 4 + 3 + 5 = 4 + 4 + 4 = 5 + 2 + 5 = 6 + 4 + 2 = 6 + 3 + 3
• 13 = 6 + 6 + 1 = 5 + 4 + 4 = 3 + 4 + 6 = 6 + 5 + 2 = 5 + 5 + 3
• 14 = 6 + 6 + 2 = 5 + 5 + 4 = 4 + 4 + 6 = 6 + 5 + 3
• 15 = 6 + 6 + 3 = 6 + 5 + 4 = 5 + 5 + 5
• 16 = 6 + 6 + 4 = 5 + 5 + 6
• 17 = 6 + 6 + 5
• 18 = 6 + 6 + 6

Ak oblasť tvoria tri rôzne čísla, napríklad 7 = 1 + 2 + 4, sú tu 3! (3x2x1) rôznymi spôsobmi permutácií tieto čísla. To by sa počítalo do troch výsledkov vo vzorkovacom priestore. Ak oddiel tvoria dve rôzne čísla, potom existujú tri rôzne spôsoby permutovania týchto čísel.

Celkový počet spôsobov, ako získať každú sumu, vydelíme celkovým počtom výsledkov v vzorový priestoralebo 216. Výsledky sú:

• Pravdepodobnosť súčtu 3: 1/216 = 0,5%
• Pravdepodobnosť súčtu 4: 3/216 = 1,4%
• Pravdepodobnosť súčtu 5: 6/216 = 2,8%
• Pravdepodobnosť súčtu 6: 10/216 = 4,6%
• Pravdepodobnosť súčtu 7: 15/216 = 7,0%
• Pravdepodobnosť súčtu 8: 21/216 = 9,7%
• Pravdepodobnosť súčtu 9: 25/216 = 11,6%
• Pravdepodobnosť sumy 10: 27/216 = 12,5%
• Pravdepodobnosť sumy 11: 27/216 = 12,5%
• Pravdepodobnosť sumy 12: 25/216 = 11,6%
• Pravdepodobnosť súčtu 13: 21/216 = 9,7%
• Pravdepodobnosť súčtu 14: 15/216 = 7,0%
• Pravdepodobnosť súčtu 15: 10/216 = 4,6%
• Pravdepodobnosť súčtu 16: 6/216 = 2,8%
• Pravdepodobnosť súčtu 17: 3/216 = 1,4%
• Pravdepodobnosť súčtu 18: 1/216 = 0,5%

Ako je vidieť, extrémne hodnoty 3 a 18 sú najmenej pravdepodobné. Najpravdepodobnejšie sú sumy, ktoré sú presne v strede. To zodpovedá tomu, čo sa pozorovalo, keď sa hodili dve kocky.