Dvojrozmerná kinematika: pohyb v rovine

Tento článok načrtáva základné pojmy potrebné na analýzu pohybu objektov v dvoch rozmeroch bez ohľadu na sily, ktoré spôsobujú zrýchlenie. Príkladom tohto typu problému je hádzanie lopty alebo streľba z dela. Predpokladá to dôvernú znalosť jednorozmerná kinematika, pretože rozširuje rovnaké koncepty do dvojrozmerného vektorového priestoru.

Kinematika zahŕňa posun, rýchlosť a zrýchlenie, ktoré sú všetky vektorové množstvá ktoré si vyžadujú veľkosť aj smer. Preto, ak chcete začať problém v dvojrozmernej kinematike, musíte najprv definovať súradnicový systém používate. Všeobecne to bude z hľadiska X-axis a y- je orientovaný tak, že pohyb je v pozitívnom smere, hoci môžu nastať okolnosti, keď to nie je najlepšia metóda.

V prípadoch, keď sa uvažuje o gravitácii, je obvyklé určiť smer gravitácie v negatívnejy smer. Toto je konvencia, ktorá vo všeobecnosti tento problém zjednodušuje, aj keď by ste to skutočne mohli robiť, výpočty by mohli byť orientované odlišne.

Pozičný vektor r je vektor, ktorý prechádza od vzniku súradnicového systému k danému bodu v systéme. Zmena polohy (Δr, vyslovuje sa „Delta r") je rozdiel medzi počiatočným bodom (r₁) do koncového bodu (r₂). Definujeme priemerná rýchlosť (proti_av) ako:

proti_av = (r₂ - r₁) / (T₂ - T₁) = Δr/ΔT

Tento limit sa považuje za ΔT prístupy 0, dosiahneme okamžitá rýchlosťproti. Z hľadiska počtu je to derivát r pokiaľ ide o Talebo dr/dt.

Keď sa časový rozdiel zmenšuje, počiatočný a konečný bod sa pohybujú bližšie k sebe. Od smeru r je rovnakým smerom ako proti, je zrejmé, že vektor okamžitej rýchlosti v každom bode cesty je tangenciálny k ceste.

Užitočnou vlastnosťou vektorových množstiev je to, že sa môžu rozdeliť na svoje zložkové vektory. Derivát vektora je súčet jeho derivátov komponentov, a preto:

proti_X = dx/dt
proti_y = D Y/dt

Veľkosť vektora rýchlosti udáva Pythagorova veta vo forme:

|proti| = proti = sqrt (proti_X² + proti_y²)

Smer proti je orientovaný alfa stupňov proti smeru hodinových ručičiek od X-komponent a dá sa vypočítať z nasledujúcej rovnice:

opálenie alfa = proti_y / proti_X

akcelerácia je zmena rýchlosti za dané časové obdobie. Podobne ako vyššie uvedená analýza zistíme, že je to Δproti/ΔT. Hranica tejto hodnoty ako ΔT prístupy 0 poskytujú derivát proti pokiaľ ide o T.

Pokiaľ ide o komponenty, vektor zrýchlenia možno písať ako:

_X = dv_X/dt
_y = dv_y/dt

alebo

_X = d²X/dt²
_y = d²y/dt²

Veľkosť a uhol (označený ako beta odlíšiť sa od alfa) vektora čistej akcelerácie sa počítajú so zložkami podobným spôsobom ako pre rýchlosť.

Dvojrozmerná kinematika často zahŕňa rozdelenie príslušných vektorov na ich X- a y-komponenty, potom analyzujú každú zo zložiek, akoby išlo o jednorozmerné prípady. Po dokončení tejto analýzy sa zložky rýchlosti a / alebo zrýchlenia kombinujú späť dohromady, aby sa získali výsledné dvojrozmerné vektory rýchlosti a / alebo zrýchlenia.

Všetky vyššie uvedené rovnice môžu byť všetky rozšírené pre pohyb v troch rozmeroch pridaním a z- súčasť analýzy. To je vo všeobecnosti dosť intuitívne, hoci je potrebné venovať pozornosť tomu, aby sa to urobilo v správnom formáte, najmä pokiaľ ide o výpočet orientačného uhla vektora.

Upravil Anne Marie Helmenstine, Ph. D.