Charakteristiky reálneho čísla

Čo je to číslo? To záleží. Existuje celý rad rôznych druhov čísel, z ktorých každé má svoje vlastné osobitné vlastnosti. Jeden druh čísla, na ktorom štatistika, pravdepodobnosť a veľa matematiky je založené na skutočnom čísle.

Ak sa chcete dozvedieť, čo je to skutočné číslo, najprv sa vydáme na krátku prehliadku iných druhov čísel.

Najprv sme sa dozvedeli o číslach, aby sme ich mohli počítať. Začali sme porovnávať čísla 1, 2 a 3 s našimi prstami. Potom sme pokračovali tak vysoko, ako sme mohli, čo asi nebolo také vysoké. Tieto počítacie čísla alebo prirodzené čísla boli jediné čísla, o ktorých sme vedeli.

Neskôr, keď sa zaoberáme odpočítaním, negatívny boli zavedené celé čísla. Súbor pozitívnych a negatívnych celých čísel sa nazýva súbor celých čísel. Krátko nato sa uvažovalo o racionálnych číslach, ktoré sa nazývajú aj zlomky. Pretože každé celé číslo môže byť napísané ako zlomok s 1 v menovateli, hovoríme, že celé čísla tvoria podmnožinu racionálnych čísel.

starovekí Gréci si uvedomil, že nie všetky čísla môžu byť vytvorené ako zlomok. Napríklad druhú odmocninu 2 nemožno vyjadriť ako zlomok. Tieto čísla sa nazývajú iracionálne čísla. Iracionálne čísla oplývajú a do istej miery prekvapujúco sú v istom zmysle iracionálne čísla ako racionálne čísla. Medzi ďalšie iracionálne čísla patrí

Každé skutočné číslo je možné zapísať ako desatinné miesto. Rôzne druhy reálnych čísel majú rôzne druhy desatinných rozšírení. Desatinná expanzia racionálneho čísla sa končí, napríklad 2, 3,25 alebo 1,2342, alebo sa opakuje, napríklad 0,33333.. Alebo .123123123.. . Na rozdiel od toho je desatinné rozširovanie iracionálneho čísla nekonečné a neopakujúce sa. Vidíme to v desiatkovej expanzii pi. Pre pi neexistuje nekonečný reťazec číslic a navyše neexistuje reťazec číslic, ktorý sa neurčito opakuje.

Reálne čísla je možné vizualizovať priradením každého z nich k jednému z nekonečného počtu bodov pozdĺž priamky. Reálne čísla majú poradie, čo znamená, že pre akékoľvek dve odlišné reálne čísla môžeme povedať, že jedno je väčšie ako druhé. Podľa konvencie zodpovedá posunutie doľava pozdĺž čiary skutočných čísel menším a menším číslam. Posun doprava pozdĺž skutočnej čiary zodpovedá väčším a väčším číslam.

Reálne čísla sa správajú ako iné čísla, s ktorými sme zvyknutí. Môžeme ich sčítať, odčítavať, násobiť a deliť (pokiaľ sa nedelíme nulou). Poradie sčítania a násobenia nie je dôležité, pretože existuje komutatívna vlastnosť. Distribučná vlastnosť nám hovorí, ako vzájomné pôsobenie násobenia a sčítania existuje.

Ako už bolo spomenuté, skutočné čísla majú poradie. Vzhľadom na akékoľvek dve skutočné čísla X a y, vieme, že platí iba jedno z nasledujúceho:

X = y, X < y alebo X > y.

Vlastnosť, ktorá oddeľuje reálne čísla od iných množín čísel, napríklad racionálne, je vlastnosť známa ako úplnosť. Úplnosť je trochu technickej vysvetliť, ale intuitívne predstava je, že súbor racionálnych čísel má medzery v ňom. Sada reálnych čísel nemá medzery, pretože je úplná.

Na ilustráciu sa pozrieme na postupnosť racionálnych čísel 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3,1415.... Každý člen tejto sekvencie je aproximáciou k pi, získanou skrátením desatinnej expanzie pre pi. Podmienky tejto postupnosti sa približujú k pi. Ako sme však už uviedli, pi nie je racionálne číslo. Potrebujeme použiť iracionálne čísla, aby sme zapojili diery číselnej čiary, ktoré sa vyskytnú iba pri zohľadnení racionálnych čísel.

Nemalo by byť žiadnym prekvapením, že existuje nekonečné množstvo reálnych čísel. To sa dá pomerne ľahko vidieť, keď uvážime, že celé čísla tvoria podmnožinu reálnych čísel. To sme mohli vidieť aj tým, že sme si uvedomili, že číselný riadok má nekonečný počet bodov.

Je prekvapujúce, že nekonečno použité na počítanie skutočných čísel je iného druhu ako nekonečno používané na počítanie celých čísel. Celé čísla, celé čísla a racionály sú nespočetne nekonečné. Množina reálnych čísel je nespočetne nekonečná.

Skutočné čísla dostanú svoje meno, aby ich odlišili od ešte väčšej zovšeobecnenia k pojmu číslo. Imaginárne číslo ja je definovaný ako druhá odmocnina zápornej. Akékoľvek skutočné číslo vynásobené ja je tiež známe ako imaginárne číslo. Imaginárne čísla určite napínajú našu koncepciu čísla, pretože vôbec nie sú to, o čom sme si mysleli, keď sme sa prvýkrát naučili počítať.