Výpočty s funkciou gama

gama funkcia je definovaný nasledujúcim komplikovaným vzorcom:

Γ ( z ) = ∫₀^∞e ^{- t}T^z-1dt

Jedna otázka, ktorú ľudia majú, keď sa prvýkrát stretnú s touto mätúcou rovnicou, je: „Ako použijete tento vzorec na výpočet hodnôt gama funkcia? “ Toto je dôležitá otázka, pretože je ťažké vedieť, čo táto funkcia dokonca znamená a čo znamenajú všetky symboly Pro.

Jedným zo spôsobov, ako odpovedať na túto otázku, je pozrieť sa na niekoľko vzorových výpočtov s funkciou gama. Predtým, ako to urobíme, je niekoľko vecí z počtu, ktoré musíme vedieť, napríklad ako integrovať integrál typu I, ktorý nie je vhodný, a že e je matematická konštanta.

Pred vykonaním akýchkoľvek výpočtov preskúmame motiváciu týchto výpočtov. Funkcie gama sa mnohokrát zobrazujú za scénami. Z hľadiska funkcie gama je uvedených niekoľko funkcií hustoty pravdepodobnosti. Ako príklady možno uviesť distribúciu gama a t-distribúciu študentov. Dôležitosť funkcie gama nemožno nadhodnotiť.

Prvý príklad výpočtu, ktorý budeme študovať, je nájdenie hodnoty funkcie gama pre Γ (1). Toto je nájdené nastavením

∫₀^∞e ^{- t}dt

Uvedený integrál vypočítame v dvoch krokoch:

• Neurčitý integrál ∫e ^{- t}dt= -e ^{- t} + C
• Toto je nesprávny integrál, takže máme ∫₀^∞e ^{- t}dt = lim_{b → ∞} -e ^{- b} + e ⁰ = 1

Ďalší príklad výpočtu, ktorý budeme brať do úvahy, je podobný predchádzajúcemu príkladu, ale zvyšujeme hodnotu z o 1. Teraz vypočítame hodnotu funkcie gama pre Γ (2) nastavením z = 2 vo vyššie uvedenom vzorci. Kroky sú rovnaké ako vyššie.

Γ ( 2 ) = ∫₀^∞e ^{- t}t dt

Neurčitý integrál ∫te ^{- t}dt=- te ^{- t} -e ^{- t} + C. Aj keď sme zvýšili iba hodnotu z 1, výpočet tohto integrálu vyžaduje viac práce. Aby sme našli tento integrál, musíme použiť techniku ​​z počtu známych ako integrácia po častiach. Teraz používame limity integrácie rovnako ako vyššie a musíme počítať:

lim_{b → ∞}- byť ^{- b} -e ^{- b} -0E ⁰ + e ⁰.

Výsledok z počtu známych ako L'Hospital's Rule nám umožňuje vypočítať limit lim_{b → ∞}- byť ^{- b} = 0. To znamená, že hodnota nášho integrálu vyššie je 1.

Ďalšou vlastnosťou funkcie gama a funkciou, ktorá ju spája s factorial je vzorec Γ (z +1 ) =zΓ (z ) pre z akékoľvek komplexné číslo s kladným číslom reálny part. Dôvod, prečo je to pravda, je priamym výsledkom vzorca pre funkciu gama. Použitím integrácie pomocou častí môžeme určiť túto vlastnosť funkcie gama.