Riešenia problémov s počítaním

Počítanie sa môže javiť ako ľahká úloha. Ako ideme hlbšie do oblasti matematika známy ako kombinatorika, uvedomujeme si, že sa stretávame s veľkým počtom. Od factorial objaví sa tak často a číslo ako 10! je väčší ako tri milión, ak sa pokúsime vymenovať všetky možnosti, problémy s počítaním sa môžu skomplikovať veľmi rýchlo.

Niekedy, keď vezmeme do úvahy všetky možnosti, ktoré môžu mať naše problémy s počítaním, je ľahšie premyslieť základné princípy problému. Táto stratégia môže trvať oveľa menej času, ako sa snažiť hrubou silou vymenovať niekoľko kombinácie alebo permutácie.

Otázka „Koľko spôsobov sa dá niečo urobiť?“ je úplne iná otázka ako „Aké sú spôsoby že sa niečo dá urobiť? “Tento nápad uvidíme v práci v nasledujúcom súbore náročných sčítaní problémy.

Nasledujúci súbor otázok obsahuje slovo TRIANGLE. Všimnite si, že existuje celkom osem písmen. Nech je zrejmé, že samohlásky slova TRIANGLE sú AEI a spoluhláskami slova TRIANGLE sú LGNRT. Pre skutočnú výzvu, pred prečítaním ďalšie pozrite sa na verziu týchto problémov bez riešenia.

1. Koľko spôsobov je možné usporiadať písmená slova TRIANGLE?
   Riešenie: Tu je celkom osem možností pre prvé písmeno, sedem pre druhé, šesť pre tretie, atď. Na základe princípu multiplikácie vynásobíme celkom 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 8! = 40 320 rôznymi spôsobmi.
2. Koľko spôsobov je možné usporiadať písmená slova TRIANGLE, ak prvé tri písmená musia byť RAN (v presnom poradí)?
   Riešenie: Prvé tri písmená boli vybrané pre nás, takže nám zostalo päť písmen. Po RAN máme päť možností na ďalšie písmeno, po ktorom nasledujú štyri, potom tri, potom dve, potom jedno. Na základe princípu násobenia existuje 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! = 120 spôsobov, ako usporiadať listy určeným spôsobom.
3. Koľko spôsobov je možné usporiadať písmená slova TRIANGLE, ak prvé tri písmená musia byť RAN (v akomkoľvek poradí)?
   Riešenie: Pozrime sa na to ako na dve nezávislé úlohy: prvé usporiadanie písmen RAN a druhé usporiadanie ďalších päť písmen. K dispozícii sú 3! = 6 spôsobov, ako zariadiť RAN a 5! Spôsoby, ako zariadiť zvyšných päť písmen. Takže sú tu celkom 3! x 5! = 720 spôsobov usporiadania písmen TRIANGLE, ako je uvedené.
4. Koľko spôsobov je možné usporiadať písmená slova TRIANGLE, ak prvé tri písmená musia byť RAN (v akomkoľvek poradí) a posledné písmeno musí byť samohláska?
   Riešenie: Pozrime sa na to ako na tri úlohy: prvé usporiadanie písmen RAN, druhé výber jednej samohlásky z I a E a tretie usporiadanie ďalších štyroch písmen. K dispozícii sú 3! = 6 spôsobov, ako zariadiť RAN, 2 spôsoby, ako si vybrať samohlásku zo zostávajúcich písmen a 4! Spôsoby, ako zariadiť ďalšie štyri písmená. Takže sú tu celkom 3! X 2 x 4! = 288 spôsobov usporiadania písmen TRIANGLE, ako je uvedené.
5. Koľko spôsobov je možné usporiadať písmená slova TRIANGLE, ak prvé tri písmená musia byť RAN (v akomkoľvek poradí) a nasledujúce tri písmená musia byť TRI (v akomkoľvek poradí)?
   Riešenie: Opäť máme tri úlohy: prvé usporiadanie písmen RAN, druhé usporiadanie písmen TRI a tretie usporiadanie ďalších dvoch písmen. K dispozícii sú 3! = 6 spôsobov, ako zariadiť RAN, 3! spôsoby usporiadania TRI a dva spôsoby usporiadania ostatných listov. Takže sú tu celkom 3! x 3! X 2 = 72 spôsobov usporiadania písmen TRIANGLE, ako je uvedené.
6. Koľko rôznych spôsobov je možné usporiadať písmená slova TRIANGLE, ak nie je možné zmeniť poradie a umiestnenie samohlások IAE?
   Riešenie: Tri samohlásky sa musia držať v rovnakom poradí. Teraz existuje celkom päť spoluhlásk. To je možné urobiť v 5! = 120 spôsobov.
7. Koľko rôznych spôsobov je možné usporiadať písmená slova TRIANGLE, ak nie je možné poradie samohlások IAE ich umiestnenie môže byť (IAETRNGL a TRIANGEL sú prijateľné, ale EIATRNGL a TRIENGLA sú ne)?
   Riešenie: To je najlepšie myslieť v dvoch krokoch. Prvým krokom je výber miest, ktoré samohlásky idú. Tu vyberáme tri miesta z ôsmich a poradie, v ktorom to robíme, nie je dôležité. Jedná sa o kombináciu a existuje celkom C(8,3) = 56 spôsobov, ako vykonať tento krok. Zvyšných päť písmen môže byť usporiadaných do 5! = 120 spôsobov. Takto sa získa celkom 56 x 120 = 6720 usporiadaní.
8. Koľko rôznych spôsobov je možné usporiadať písmená slova TRIANGLE, ak je možné zmeniť poradie samohlások IAE, aj keď ich umiestnenie nemusí byť?
   Riešenie: To je skutočne to isté ako vyššie uvedené číslo 4, ale s rôznymi písmenami. Usporiadame tri písmená po 3! = 6 spôsobov a ďalších päť písmen po 5! = 120 spôsobov. Celkový počet spôsobov tohto usporiadania je 6 x 120 = 720.
9. Koľko rôznych spôsobov je možné usporiadať šesť písmen slova TRIANGLE?
   Riešenie: Keďže hovoríme o usporiadaní, jedná sa o permutáciu a je ich celkom P( 8, 6) = 8!/2! = 20 160 spôsobov.
10. Koľko rôznych spôsobov môže byť usporiadaných šesť písmen slova TRIANGLE, ak musí existovať rovnaký počet samohlások a spoluhlásk?
    Riešenie: Existuje len jeden spôsob, ako vybrať samohlásky, ktoré sa chystáme umiestniť. Výber súhlások možno vykonať v C(5, 3) = 10 spôsobov. K dispozícii je potom 6! spôsoby, ako zariadiť šesť písmen. Vynásobte tieto čísla spolu za výsledok 7200.
11. Koľko rôznych spôsobov je možné usporiadať šesť písmen slova TRIANGLE, ak musí existovať aspoň jedna spoluhláska?
    Riešenie: Každé usporiadanie šiestich písmen spĺňa podmienky P(8, 6) = 20 160 spôsobov.
12. Koľko rôznych spôsobov je možné usporiadať šesť písmen slova TRIANGLE, ak sa samohlásky musia striedať s spoluhláskami?
    Riešenie: Existujú dve možnosti: prvé písmeno je samohláska alebo prvé písmeno je spoluhláska. Ak je prvé písmeno samohláska, máme tri možnosti, po ktorých nasleduje päť pre spoluhlásku, dve pre druhú samohlásku, štyri pre druhú spoluhlásku, jedno pre poslednú samohlásku a tri pre poslednú spoluhlásku. Násobíme to, aby sme získali 3 x 5 x 2 x 4 x 1 x 3 = 360. Podľa argumentov symetrie existuje rovnaký počet usporiadaní, ktoré začínajú spoluhláskou. Takto sa získa celkom 720 opatrení.
13. Koľko rôznych skupín štyroch písmen je možné vytvoriť zo slova TRIANGLE?
    Riešenie: Pretože hovoríme o a sada zo štyroch písmen z celkom ôsmich nie je poradie dôležité. Musíme vypočítať kombináciu C(8, 4) = 70.
14. Koľko rôznych skupín štyroch písmen možno vytvoriť zo slova TRIANGLE, ktoré má dve samohlásky a dve spoluhlásky?
    Riešenie: Tu vytvárame náš súbor v dvoch krokoch. Existujú C(3, 2) = 3 spôsoby, ako si vybrať dve samohlásky z celkom 3. Existujú C(5, 2) = 10 spôsobov, ako si vybrať súhlásky z piatich dostupných. Takto je možné získať celkom 3 x 10 = 30 sád.
15. Koľko rôznych skupín štyroch písmen možno vytvoriť zo slova TRIANGLE, ak chceme aspoň jednu samohlásku?
    Riešenie: To sa dá vypočítať takto:

• Počet súprav po štyroch s jednou samohláskou je C(3, 1) x C( 5, 3) = 30.
• Počet súprav po štyroch s dvoma samohláskami je C(3, 2) x C( 5, 2) = 30.
• Počet sád štyroch a troch samohlások je C(3, 3) x C( 5, 1) = 5.

Takto získate celkom 65 rôznych sád. Alternatívne by sme mohli vypočítať, že existuje 70 spôsobov, ako vytvoriť množinu akýchkoľvek štyroch písmen, a odpočítať C(5, 4) = 5 spôsobov, ako získať sadu bez samohlások.