Ak by ste požiadali niekoho, aby pomenoval svoju obľúbenú matematickú konštantu, pravdepodobne by ste dostali nejaké kvízové pohľady. Po chvíli sa niekto môže dobrovoľne prihlásiť najlepšia konštanta je pi. Toto však nie je jediná dôležitá matematická konštanta. Tesná sekunda, ak nie uchádzač o korunu najviac všadeprítomnej konštanty, je e. Toto číslo sa zobrazuje v počte, teórii čísel, pravdepodobnosti a štatistika. Preskúmame niektoré vlastnosti tohto pozoruhodného čísla a uvidíme, aké sú jeho súvislosti so štatistikami a pravdepodobnosťou.
Hodnota e
Rovnako ako pi, e je iracionálny Reálne číslo. To znamená, že ho nemožno písať ako zlomok a že jeho desatinné rozširovanie pokračuje navždy bez opakovania bloku čísel, ktorý sa neustále opakuje. Číslo e je tiež transcendentný, čo znamená, že to nie je koreň nenulového polynómu s racionálnymi koeficientmi. Prvých päťdesiat desatinných miest je od e = 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995.
Definícia e
Číslo e objavili ľudia, ktorí boli zvedaví na zložitý záujem. Pri tejto forme úroku príkazca získa úrok a potom vygenerovaný úrok získa úrok sám o sebe. Zistilo sa, že čím vyššia je frekvencia kombinovaných období za rok, tým vyššie je vygenerované množstvo úroku. Mohli by sme sa napríklad pozrieť na zloženie záujmu:
- Ročne alebo raz ročne
- Polročne alebo dvakrát ročne
- Mesačne alebo 12-krát ročne
- Denne alebo 365 krát do roka
Celková výška úrokov sa zvyšuje v každom z týchto prípadov.
Vyvstala otázka, koľko peňazí možno možno zarobiť v záujme. Aby sme sa pokúsili zarobiť ešte viac peňazí, teoreticky by sme mohli zvýšiť počet kombinovaných období na také vysoké, aké sme chceli. Konečným výsledkom tohto nárastu je to, že by sme záujem považovali za nepretržitý.
Zatiaľ čo sa generovaný záujem zvyšuje, robí to veľmi pomaly. Celková suma peňazí na účte sa skutočne stabilizuje a hodnota, na ktorú sa stabilizuje, je e. Aby sme to vyjadrili pomocou matematického vzorca, hovoríme, že limit ako n zvýšenie (1 + 1 /n)n = e.
Použitie e
Číslo e objavuje sa v celej matematike. Tu je niekoľko miest, kde to vyzerá:
- Je to základ prirodzeného logaritmu. Keďže Napier vynašiel logaritmy, e sa niekedy označuje ako Napierova konštanta.
- V kalkulu exponenciálna funkcia eX má jedinečnú vlastnosť ako svoj vlastný derivát.
- Výrazy zahŕňajúce eX a e-X kombinujú sa a vytvárajú hyperbolické sínusové a hyperbolické kosínové funkcie.
- Vďaka práci Eulera vieme, že základné konštanty matematiky sú vzájomne prepojené vzorcom eiΠ + 1 = 0, kde ja je imaginárne číslo, ktoré je druhou odmocninou záporného čísla.
- Číslo e sa objavuje v rôznych formách matematiky, najmä v oblasti teórie čísel.
Hodnota e v štatistike
Dôležitosť čísla e sa neobmedzuje iba na niekoľko oblastí matematiky. Existuje aj niekoľko použití čísla e v štatistike a pravdepodobnosti. Niektoré z nich sú tieto:
- Číslo e robí vzhľad v vzorec pre funkciu gama.
- Vzorce pre štandardné normálne rozdelenie zahŕňa e na negatívnu moc. Tento vzorec tiež zahrnuje pi.
- Mnohé ďalšie distribúcie zahŕňajú použitie čísla e. Napríklad vzorce pre t-distribúciu, gama distribúciu a chí-kvadrát distribúciu obsahujú všetky číslo e.