Čo sú to funkcie exponenciálneho rastu?

Exponenciálne funkcie rozprávajú príbehy o výbušných zmenách. Dva typy exponenciálnych funkcií sú exponenciálny rast a exponenciálny rozklad. V exponenciálnych funkciách hrajú úlohu štyri premenné (percentuálna zmena, čas, suma na začiatku časového obdobia a suma na konci časového obdobia). Nasledujúci text sa zameriava na použitie exponenciálnych rastových funkcií na vytváranie predpovedí.

Exponenciálny rast je zmena, ku ktorej dôjde, keď sa pôvodná suma v rovnakom čase zvýši stálym tempom

Použitie exponenciálneho rastu v reálnom živote:

• Hodnoty cien domov
• Hodnoty investícií
• Zvýšené členstvo v obľúbenej sociálnej sieti

Edloe a spol. Sa spolieha na reklamu na ústne podanie, pôvodnú sociálnu sieť. Päťdesiat nakupujúcich to oznámilo piatim ľuďom a potom každý z týchto nových nakupujúcich povedal ďalším piatim ľuďom a tak ďalej. Manažér zaznamenal nárast nakupujúcich.

• 0: 50 nakupujúcich
• 1. týždeň: 250 nakupujúcich
• 2. týždeň: 1 250 nakupujúcich
• Týždeň 3: 6 250 nakupujúcich
• 4. týždeň: 31 250 nakupujúcich

Po prvé, ako viete, že tieto údaje predstavujú exponenciálny rast? Položte si dve otázky.

1. Zvyšujú sa hodnoty? Áno
2. Preukazujú hodnoty stály percentuálny nárast? Áno.

Percentuálne zvýšenie: (novšie - staršie) / (staršie) = (250 - 50) / 50 = 200/50 = 4,00 = 400%

Overte, či percentuálny nárast pretrváva celý mesiac:

Percentuálne zvýšenie: (novšie - staršie) / (staršie) = (1 250 - 250) / 250 = 4,00 = 400%
Percentuálne zvýšenie: (novšie - staršie) / (staršie) = (6 250 - 1 250) / 1 250 = 4,00 = 400%

Opatrne - nezamieňajte exponenciálny a lineárny rast.

Lineárny rast predstavuje:

• 1. týždeň: 50 nakupujúcich
• 2. týždeň: 50 nakupujúcich
• Týždeň 3: 50 nakupujúcich
• 4. týždeň: 50 nakupujúcich

Poznámka: Lineárny rast znamená stály počet zákazníkov (50 nakupujúcich týždenne); exponenciálny rast znamená stály percentuálny nárast (400%) zákazníkov.

Toto je exponenciálna funkcia rastu:

y = a (1 + b)^X

• y: Konečná čiastka zostávajúca na určité časové obdobie
• : Pôvodná suma
• X: Čas
• rastový faktor je (1 + b).
• Premenná, b, je percentuálna zmena v desiatkovej forme.

Vyplň prázdne miesta:

• = 50 nakupujúcich
• b = 4.00

y = 50(1 + 4)^X

Poznámka: Nevyplňujte hodnoty pre X a y. Hodnoty X a y sa počas celej funkcie zmení, ale pôvodná čiastka a percentuálna zmena zostanú konštantné.

Predpokladajme, že recesia, ktorá je hlavným vodičom nakupujúcich v obchode, pretrváva 24 týždňov. Koľko týždenných nakupujúcich bude mať obchod v priebehu 8^th týždeň?

Dajte pozor, aby ste v 4. týždni (31 250 * 2 = 62 500) nezvýšili počet nakupujúcich a verte, že je to správna odpoveď. Pamätajte, že tento článok je o exponenciálnom raste, nie o lineárnom raste.

Na zjednodušenie použite poradie operácií.

y = 50(1 + 4)^X

y = 50(1 + 4)⁸

y = 50(5)⁸ (Zátvorky)

y = 50 (390 625) (zložka)

y = 19 531 250 (násobok)

19 531 250 kupujúcich

Pred začiatkom recesie sa mesačný príjem obchodu pohyboval okolo 800 000 dolárov. Obchod je príjem je celková čiastka dolára, ktorú zákazníci minú v obchode za tovar a služby.

Výnosy spoločnosti Edloe a Co.

• Pred recesiou: 800 000 dolárov
• 1 mesiac po recesii: 880 000 dolárov
• 2 mesiace po recesii: 968 000 dolárov
• 3 mesiace po recesii: 1 171 280 dolárov
• 4 mesiace po recesii: 1 288 408 dolárov

Informácie o príjmoch spoločnosti Edloe a Co použite na dokončenie 1 až 7.

1. Aké sú pôvodné príjmy?
2. Čo je rastový faktor?
3. Ako tieto údaje modelujú exponenciálny rast?
4. Napíšte exponenciálnu funkciu, ktorá popisuje tieto údaje.
5. Napíšte funkciu na predpovedanie výnosov v piatom mesiaci po začiatku recesie.
6. Aké sú príjmy v piatom mesiaci od začiatku roka 2007 odstúpenie?
7. Predpokladajme, že doména tejto exponenciálnej funkcie je 16 mesiacov. Inými slovami, predpokladajme, že recesia bude trvať 16 mesiacov. Kedy budú príjmy vyššie ako 3 milióny dolárov?