Ako používať matematiku v matematike

Pri čítaní štatistík a matematiky sa jedna veta, ktorá sa pravidelne zobrazuje, je „iba vtedy, ak“. Táto fráza sa objavuje najmä vo vyhláseniach o matematických teorémoch alebo dôkazoch. Čo presne to však znamená?

Aby sme pochopili „iba a len vtedy“, musíme najprv vedieť, čo sa myslí pod podmienkou. Podmienené vyhlásenie je také, ktoré je tvorené dvoma ďalšími tvrdeniami, ktoré označíme P a Q. Aby sme vytvorili podmienečné vyhlásenie, mohli by sme povedať „ak P, potom Q.“

Príklady tohto tvrdenia sú tieto:

• Ak vonku prší, vezmem so sebou so sebou dáždnik.
• Ak budete tvrdo študovať, získate A.
• ak n je potom deliteľné 4 n je deliteľné 2.

S akýmkoľvek podmienečným vyhlásením súvisia ďalšie tri vyhlásenia. Tieto sa nazývajú inverzný, inverzný a antikoncepčný. Tieto výroky tvoríme zmenou poradia P a Q z pôvodného podmieneného stavu a vložením slova „nie“ pre inverzný a kontrapositívny.

Potrebujeme uvažovať iba o konverzácii tu. Toto vyhlásenie sa získava z originálu vyslovením „ak Q potom P.“ Predpokladajme, že začneme podmienečným „ak vonku prší, potom ja vezmi so sebou dáždnik na prechádzku. “ Naopak, toto tvrdenie je „ak si vezmem so sebou dáždnik, potom prší vonku. "

Tento príklad si musíme vziať do úvahy len preto, aby sme si uvedomili, že pôvodný podmienený stav nie je logicky rovnaký ako jeho opak. Zmätok týchto dvoch vyhlásení sa nazýva a chyba prevodu. Na prechádzku by sa dalo dáždnik, hoci vonku nemusí pršať.

Pre ďalší príklad považujeme podmienené „Ak je číslo deliteľné 4, potom deliteľné 2.“ Toto vyhlásenie je jednoznačne pravdivé. Opak tohto tvrdenia „Ak je číslo deliteľné 2, potom deliteľné 4“ je nepravdivé. Potrebujeme sa len pozrieť na číslo, ako je 6. Aj keď 2 toto číslo delí, 4 nie. Aj keď pôvodné tvrdenie je pravdivé, jeho opak nie je.

To nás privádza k dvojsmernému vyhláseniu, ktoré sa tiež nazýva vyhlásenie „iba vtedy, ak“. Niektoré podmienečné výroky obsahujú aj konverzie, ktoré sú pravdivé. V tomto prípade môžeme vytvoriť tzv. Dvojsmerné vyhlásenie. Dvojsmerné vyhlásenie má formu:

„Ak P, potom Q a Q potom P.“

Od tohto výstavba je trochu trápne, zvlášť keď P a Q sú ich vlastné logické výroky, zjednodušujeme výrok dvojväzby pomocou vety „iba vtedy, ak.“ Namiesto toho, aby sme povedali „ak P potom Q, a ak Q potom P“, namiesto toho povieme „P iba ​​vtedy, ak Q.“ Táto konštrukcia niektoré eliminuje nadbytok.

Príklad frázy „iba vtedy, ak“, ktorá obsahuje štatistiku, nehľadajte nič viac ako fakt týkajúci sa štandardnej štandardnej odchýlky. Vzorová smerodajná odchýlka súboru údajov je rovná nula iba vtedy, ak sú všetky hodnoty údajov rovnaké.

Toto dvojstranné vyhlásenie rozdeľujeme na podmienečné a jeho opačné. Potom vidíme, že toto vyhlásenie znamená obe nasledujúce skutočnosti:

• Ak je smerodajná odchýlka nula, potom sú všetky hodnoty údajov rovnaké.
• Ak sú všetky hodnoty údajov rovnaké, štandardná odchýlka sa rovná nule.

Ak sa pokúšame dokázať dvojsmernosť, potom ju väčšinou rozdelíme. To znamená, že náš dôkaz má dve časti. Jedna časť, ktorú dokážeme, je „ak P, potom Q.“ Druhou časťou dôkazu, ktorý potrebujeme, je „ak Q potom P.“

Dvojsmerné vyhlásenia sa týkajú podmienok, ktoré sú potrebné a dostatočné. Zvážte vyhlásenie „ak je dnes Veľká noc, potom zajtra je pondelok. “ Dnes je Veľká noc postačujúca na zajtra pondelok, nie je to však potrebné. Dnes by mohla byť iná nedeľa ako Veľká noc a zajtra bude stále pondelok.

Fráza „iba vtedy, ak“ sa v matematickom písaní používa dosť často, že má vlastnú skratku. Niekedy je dvojväzba vo výroku „ak a iba ak“ skrátená na „iff“. Údaj „P iba ​​vtedy, ak Q“ sa stáva „P ak Q.“