Bell krivky zobrazia sa v celej štatistike. Rôzne merania, ako sú priemery semien, dĺžky rybích plutiev, skóre na SAT a hmotnosti jednotlivých listov papiera, všetky vytvárajú pri grafe zvonové krivky. Všeobecný tvar všetkých týchto kriviek je rovnaký. Všetky tieto krivky sa však líšia, pretože je veľmi nepravdepodobné, že by niektorá z nich mala rovnaký priemer alebo štandardnú odchýlku. Krivky zvonku s veľkými štandardnými odchýlkami sú široké a zvončekové krivky s malými štandardnými odchýlkami sú chudé. Krivky zvonov s väčšími prostriedkami sú posunuté viac doprava ako krivky s menšími prostriedkami.
Príklad
Aby to bolo trochu konkrétnejšie, predstierajme, že zmeráme priemery 500 jadier kukurice. Potom zaznamenávame, analyzujeme a grafujeme tieto údaje. Zistilo sa, že súbor údajov má tvar zvonovitej krivky a má strednú hodnotu 1,2 cm so štandardnou odchýlkou 0,4 cm. Teraz predpokladajme, že to isté urobíme s 500 fazuľami a zistíme, že majú stredný priemer 0,8 cm so štandardnou odchýlkou 0,04 cm.
Krivky zvonov z oboch týchto súborov údajov sú vynesené vyššie. Červená krivka zodpovedá údajom kukurice a zelená krivka zodpovedá údajom fazule. Ako vidíme, stredy a rozpätia týchto dvoch kriviek sú rôzne.
Jednoznačne sú to dve rôzne zvonové krivky. Sú odlišné, pretože ich prostriedky a smerodajné odchýlky nezhodujú sa. Keďže akékoľvek zaujímavé súbory údajov, s ktorými sa stretneme, môžu mať ľubovoľné kladné číslo ako štandardnú odchýlku a akékoľvek číslo pre priemernú hodnotu, skutočne len poškriabame povrch nekonečný počet zvonových kriviek. To je veľa kriviek a príliš veľa na to, aby sme ich zvládli. Aké je riešenie?
Veľmi špeciálna krivka
Jedným z cieľov matematiky je zovšeobecňovať veci všade, kde je to možné. Niekedy je niekoľko individuálnych problémov špeciálnym prípadom jedného problému. Táto situácia zahŕňajúca zvonové krivky je toho skvelým príkladom. Namiesto toho, aby sme sa zaoberali nekonečným počtom zvonových kriviek, môžeme ich všetky spojiť do jednej krivky. Táto špeciálna krivka sa nazýva štandardná krivka alebo štandardné normálne rozdelenie.
Štandardná krivka má strednú nulu a štandardnú odchýlku jedna. Akákoľvek iná krivka zvonenia sa dá porovnať s touto normou pomocou a priamy výpočet.
Funkcie štandardnej normálnej distribúcie
Všetky vlastnosti akejkoľvek zvonovitej krivky platia pre štandardné normálne rozdelenie.
- Štandardné normálne rozdelenie má nielen strednú nulu, ale aj strednú hodnotu a nulu. Toto je stred krivky.
- Štandardné normálne rozdelenie ukazuje zrkadlovú symetriu na nule. Polovica krivky je vľavo od nuly a polovica krivky je vpravo. Keby sa krivka zložila pozdĺž zvislej čiary na nule, obe polovice by sa perfektne zhodovali.
- Štandardné normálne rozdelenie sa riadi pravidlom 68-95-99.7, ktoré nám umožňuje ľahko odhadnúť nasledujúce:
- Približne 68% všetkých údajov je medzi -1 a 1.
- Približne 95% všetkých údajov je medzi -2 a 2.
- Približne 99,7% všetkých údajov je medzi -3 a 3.
Prečo nám záleží
V tomto bode sa možno pýtame: „Prečo sa obťažovať so štandardnou zvonovou krivkou?“ Môže to vyzerať ako zbytočná komplikácia, ale štandardná zvonová krivka bude prospešná, keď budeme pokračovať v štatistike.
Zistíme, že jeden typ problému v štatistike vyžaduje, aby sme našli oblasti pod časťami akejkoľvek zvonovej krivky, s ktorou sa stretneme. Zvonica nie je pre oblasti pekná. Nie je to ako obdĺžnik alebo správny trojuholník ktoré majú ľahké vzorce pre oblasť. Nájdenie oblastí častí zvonovej krivky môže byť zložité, v skutočnosti také ťažké, že by sme museli použiť nejaký počet. Ak nebudeme štandardizovať naše zvonové krivky, museli by sme urobiť nejaký počet vždy, keď chceme nájsť oblasť. Ak štandardizujeme svoje krivky, pre nás sa vykonala všetka práca na výpočte plôch.