Jedno použitie a distribúcia chí-kvadrát je s testami hypotéz pre multinomiálne experimenty. Ak chcete vidieť, ako to test hypotéz práce, preskúmame nasledujúce dva príklady. Oba príklady pracujú na rovnakom súbore krokov:
- Vytvárajte nulové a alternatívne hypotézy
- Vypočítajte štatistiku testu
- Nájdite kritickú hodnotu
- Rozhodnite sa, či odmietnuť alebo odmietnuť našu neplatnú hypotézu.
Príklad 1: Spravodlivá minca
Pre náš prvý príklad sa chceme pozrieť na mincu. Spravodlivá minca má rovnakú pravdepodobnosť 1/2 príchodu hláv alebo chvostov. Hodili sme 1 000 mincí a zaznamenávame výsledky celkom 580 hláv a 420 chvostov. Chceme otestovať hypotézu s 95% istotou, že minca, ktorú sme vyhodili, je spravodlivá. Formálnejšie nulová hypotézaH0 je to, že minca je spravodlivá. Pretože porovnávame pozorované frekvencie výsledkov odhodenia mincí k očakávaným frekvenciám od idealizovanej spravodlivej mince, mal by sa použiť test chí-kvadrát.
Vypočítajte štatistiku Chi-Square
Začneme výpočtom chi-square štatistiky pre tento scenár. Existujú dve udalosti, hlavy a chvosty. Pozorovaná frekvencia výskytu hláv je
F1 = 580 s očakávanou frekvenciou e1 = 50% x 1 000 = 500. Chvosty majú pozorovanú frekvenciu F2 = 420 s očakávanou frekvenciou e1 = 500.Teraz používame vzorec pre štatistiku chí-kvadrát a vidíme, že χ2 = (F1 - e1 )2/e1 + (F2 - e2 )2/e2= 802/500 + (-80)2/500 = 25.6.
Nájdite kritickú hodnotu
Ďalej musíme nájsť kritickú hodnotu pre správne rozdelenie štvorcov. Vzhľadom k tomu, že existujú dva výsledky pre mince, je potrebné zvážiť dve kategórie. Počet stupne slobody je o menej ako počet kategórií: 2 - 1 = 1. Na tento počet stupňov voľnosti používame distribúciu chí-kvadrát a vidíme to χ20.95=3.841.
Odmietnuť alebo odmietnuť?
Nakoniec porovnávame vypočítanú štatistiku chí-kvadrát s kritickou hodnotou z tabuľky. Od 25,6> 3,841 odmietame nulovú hypotézu, že ide o spravodlivú mincu.
Príklad 2: Spravodlivé die
Spravodlivá matrica má rovnakú pravdepodobnosť 1/6 hodenia jedného, dvoch, troch, štyroch, piatich alebo šiestich. Valíme raznicu 600 krát a uvedomujeme si, že rolujeme raz 106krát, dvakrát 90krát, trikrát 98krát, štyrikrát 102krát, päťkrát 100krát a šesťkrát 104krát. Chceme otestovať hypotézu s 95% istotou, že máme spravodlivú smrť.
Vypočítajte štatistiku Chi-Square
Existuje šesť udalostí, každá s očakávanou frekvenciou 1/6 x 600 = 100. Pozorované frekvencie sú F1 = 106, F2 = 90, F3 = 98, F4 = 102, F5 = 100, F6 = 104,
Teraz používame vzorec pre štatistiku chí-kvadrát a vidíme, že χ2 = (F1 - e1 )2/e1 + (F2 - e2 )2/e2+ (F3 - e3 )2/e3+(F4 - e4 )2/e4+(F5 - e5 )2/e5+(F6 - e6 )2/e6 = 1.6.
Nájdite kritickú hodnotu
Ďalej musíme nájsť kritickú hodnotu pre správne rozdelenie štvorcov. Pretože existuje šesť kategórií výsledkov pre matricu, počet stupňov voľnosti je o jeden nižší ako tento: 6 - 1 = 5. Používame distribúciu chí-kvadrát pre päť stupňov slobody a vidíme to χ20.95=11.071.
Odmietnuť alebo odmietnuť?
Nakoniec porovnávame vypočítanú štatistiku chí-kvadrát s kritickou hodnotou z tabuľky. Pretože vypočítaná štatistika chí-kvadrát je 1,6, je nižšia ako naša kritická hodnota 11 071, my neodmietnuť nulová hypotéza.