Pravdepodobnosť malého postupu v Yahtzee v jednom hode

Yahtzee je hra s kockami, ktorá používa päť štandardných šesťstranných kocky. Na každom kole sú hráči tri rožky na dosiahnutie niekoľkých rôznych cieľov. Po každom hode sa hráč môže rozhodnúť, ktorá z kociek (ak nejaké sú) sa má ponechať a ktoré sa majú prevaliť. Medzi ciele patrí množstvo rôznych kombinácií, z ktorých mnohé sú prevzaté z pokeru. Každý iný druh kombinácie má inú hodnotu.

Nazývajú sa dva typy kombinácií, ktoré musia hráči hádzať rovinky: malý rovný a veľký rovný. Rovnako ako pokerové rovinky, aj tieto kombinácie pozostávajú zo sekvenčných kock. Malé rovinky používajú štyri z piatich kociek a veľké rovinky použite všetkých päť kociek. Z dôvodu náhodnosti valcovania kockami sa pravdepodobnosť môže použiť na analýzu pravdepodobnosti, že bude hodiť malú rovnú do jednej rolky.

Predpokladáme, že použité kocky sú spravodlivé a navzájom nezávislé. Takto existuje jednotný priestor na vzorky pozostávajúci zo všetkých možných zvitkov piatich kociek. Hoci Yahtzee umožňuje tri valce, pre jednoduchosť vezmeme do úvahy iba prípad, keď dostaneme malú rovnú do jedného valca.

Pretože pracujeme s a uniformavzorový priestor, výpočet našej pravdepodobnosti sa stáva výpočtom niekoľkých problémov s počítaním. Pravdepodobnosť malej rovnej čiary je počet spôsobov, ako hodiť malú rovnú čiaru, vydelený počtom výsledkov vo vzorkovacom priestore.

Je veľmi ľahké spočítať počet výsledkov vo vzorkovacom priestore. Rozvaľujeme päť kockami a každá z týchto kociek môže mať jeden zo šiestich rôznych výsledkov. Základné použitie princípu multiplikácie nám hovorí, že priestor vzorky má 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁵ = 7776 výsledkov. Toto číslo bude menovateľom zlomkov, ktoré používame pre našu pravdepodobnosť.

Ďalej potrebujeme vedieť, koľko spôsobov je, ako sa hodiť malou cestou. Je to zložitejšie ako výpočet veľkosti priestoru vzorky. Začneme tým, že spočítame, koľko rovných rovín je možné.

Malá priamka sa ľahšie hodí ako veľká priama, je však ťažšie spočítať počet spôsobov, ako sa tento typ postupky valí. Malá rovnica pozostáva z presne štyroch postupných čísel. Pretože existuje šesť rôznych stien matrice, existujú tri možné malé rovinky: {1, 2, 3, 4}, {2, 3, 4, 5} a {3, 4, 5, 6}. Ťažkosti vznikajú pri zvažovaní toho, čo sa stane s piatym zomrieť. V každom z týchto prípadov musí byť piata matrica číslom, ktoré nevytvára veľkú postupku. Napríklad, ak prvé štyri kocky boli 1, 2, 3 a 4, piata matrica by mohla byť iná ako 5. Ak by piata matrica mala hodnotu 5, mali by sme skôr veľkú priamu ako malú priamu.

To znamená, že existuje päť možných rolí, ktoré dávajú malú priamu {1, 2, 3, 4}, päť možných kotúčiky, ktoré dávajú malú rovnú {3, 4, 5, 6} a štyri možné kotúče, ktoré dávajú malú rovnú {2, 3, 4, 5}. Tento posledný prípad je iný, pretože pretočenie 1 alebo 6 pre piatu lisovnicu sa zmení {2, 3, 4, 5} na veľkú rovinu. To znamená, že existuje 14 rôznych spôsobov, ako nám päť kocky dá malý postup.

Teraz určujeme rôzny počet spôsobov, ako hodiť konkrétnou súpravou kocky, ktorá nám dá rovinu. Keďže potrebujeme iba vedieť, koľko spôsobov, ako to urobiť, môžeme použiť niektoré základné techniky počítania.

Zo 14 rôznych spôsobov, ako získať malé rovinky, sú iba dva z týchto {1,2,3,4,6} a {1,3,4,5,6} sady s odlišnými prvkami. Je ich 5! = 120 spôsobov, ako hádzať každý, celkom 2 x 5! = 240 malých roviniek.

Ďalších 12 spôsobov, ako mať malú postupku, sú technicky multisety, pretože všetky obsahujú opakujúci sa prvok. Pre jeden konkrétny multiset, ako je napríklad [1,1,2,3,4], spočítame počet rôznych spôsobov, ako tento počet prehrať. Premýšľajte o kockách ako o päť pozícií v rade:

• Existuje C (5,2) = 10 spôsobov, ako umiestniť dva opakované prvky medzi päť kociek.
• K dispozícii sú 3! = 6 spôsobov, ako usporiadať tri odlišné prvky.

Na základe princípu násobenia existuje 6 x 10 = 60 rôznych spôsobov, ako hodiť kockami 1,1,2,3,4 do jedného hodenia.

Existuje 60 spôsobov, ako hodiť jednu takú malú rovnú s touto konkrétnou piatej matrice. Pretože existuje 12 multisetov, ktoré poskytujú odlišný zoznam piatich kocky, existuje 60 x 12 = 720 spôsobov, ako hodiť malú rovnú rovinu, v ktorej sa zhodujú dve kocky.

Celkovo je 2 x 5! + 12 x 60 = 960 spôsobov, ako prevrátiť malú postupku.

Teraz je pravdepodobnosť valenia malej rovinky jednoduchým výpočtom rozdelenia. Pretože existuje 960 rôznych spôsobov, ako valiť malú rovnú do jednej rolky a existuje 7776 roliek päť kocky možné, pravdepodobnosť hodenia malej rovinky je 960/7776, čo je blízko 1/8 a 12.3%.

Je samozrejme pravdepodobnejšie, že prvý valec nie je rovný. Ak je to tak, potom máme povolené dve ďalšie kotúče, vďaka ktorým je malá čiara oveľa pravdepodobnejšia. Pravdepodobnosť tohto zistenia je oveľa komplikovanejšia vzhľadom na všetky možné situácie, ktoré by bolo potrebné zvážiť.