Ako používať doplnkové pravidlo v štatistike

V štatistike je pravidlo komplementu veta, ktorá poskytuje spojenie medzi pravdepodobnosťou udalosť a pravdepodobnosť doplnenia udalosti takým spôsobom, že ak poznáme jednu z týchto pravdepodobností, automaticky poznáme druhú.

Pravidlo doplnku sa hodí, keď vypočítame určité pravdepodobnosti. Pravdepodobnosť udalosti je mnohokrát chaotická alebo zložitá na výpočet, zatiaľ čo pravdepodobnosť jej doplnenia je oveľa jednoduchšia.

Skôr ako uvidíme, ako sa používa pravidlo komplementu, definujeme konkrétne, čo je toto pravidlo. Začneme trochu zápisom. Doplnok akcie pozostávajúce zo všetkých prvkov vzorový priestorS ktoré nie sú prvkami súpravy , je označené C.

Pravidlo doplnku sa uvádza ako „súčet pravdepodobnosti udalosti a pravdepodobnosti jej doplnku sa rovná 1“, vyjadrené nasledujúcou rovnicou:

P (^C) = 1 - P ()

Nasledujúci príklad ukáže, ako používať pravidlo komplementu. Bude zrejmé, že táto veta urýchli a zjednoduší výpočty pravdepodobnosti.

Predpokladajme, že prevrátime osem spravodlivých mincí - aká je pravdepodobnosť, že budeme mať aspoň jednu hlavu? Jedným zo spôsobov, ako to zistiť, je vypočítať nasledujúce pravdepodobnosti. Menovateľ každého z nich sa vysvetľuje skutočnosťou, že existujú 2⁸ = 256 výsledkov, pričom každý z nich je rovnako pravdepodobný. Všetky nasledujúce po nás vzorec pre kombinácie:

• Pravdepodobnosť preklopenia presne jednej hlavy je C (8,1) / 256 = 8/256.
• Pravdepodobnosť preklopenia presne dvoch hláv je C (8,2) / 256 = 28/256.
• Pravdepodobnosť preklopenia presne troch hláv je C (8,3) / 256 = 56/256.
• Pravdepodobnosť preklopenia presne štyroch hláv je C (8,4) / 256 = 70/256.
• Pravdepodobnosť preklopenia presne piatich hláv je C (8,5) / 256 = 56/256.
• Pravdepodobnosť preklopenia presne šiestich hláv je C (8,6) / 256 = 28/256.
• Pravdepodobnosť preklopenia presne siedmich hláv je C (8,7) / 256 = 8/256.
• Pravdepodobnosť preklopenia presne ôsmich hláv je C (8,8) / 256 = 1/256.

To sú vzájomne sa vylučujúce udalosti, takže sčítame pravdepodobnosti spolu pomocou jednej vhodnej pravidlo pridania. To znamená, že pravdepodobnosť, že máme aspoň jednu hlavu, je 255 zo 256.

Teraz vypočítame rovnakú pravdepodobnosť pomocou pravidla doplnku. Doplnkom akcie „Prehodíme aspoň jednu hlavu“ je udalosť „Nie sú žiadne hlavy.“ Existuje jeden spôsob, ako k tomu dôjsť, čo nám dáva pravdepodobnosť 1/256. Používame pravidlo komplementu a zisťujeme, že naša požadovaná pravdepodobnosť je jedna mínus jedna z 256, čo sa rovná 255 z 256.

Tento príklad demonštruje nielen užitočnosť, ale aj silu pravidla doplňovania. Aj keď s naším pôvodným výpočtom nie je nič zlé, bolo to celkom zapojené a vyžaduje niekoľko krokov. Naopak, keď sme použili pravidlo komplementu pre tento problém, nebolo toľko krokov, kde by sa výpočty mohli zhoršiť.