Pochopenie ekvivalentných rovníc v Algebre

Ekvivalentné rovnice sú systémy rovníc, ktoré majú rovnaké riešenia. Identifikácia a riešenie rovnocenných rovníc je hodnotná zručnosť nielen v algebra triedy ale aj v každodennom živote. Prezrite si príklady ekvivalentných rovníc, ako ich vyriešiť pre jednu alebo viac premenných a ako by ste túto zručnosť mohli použiť mimo učebne.

Kľúčové jedlá

Najjednoduchšie príklady ekvivalentných rovníc nemajú žiadne premenné. Napríklad tieto tri rovnice sú si navzájom rovnocenné:

• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5
• 5 + 0 = 5

Rozpoznanie týchto rovníc je rovnocenné, je vynikajúce, ale nie zvlášť užitočné. Zvyčajne vám problém rovnocennej rovnice vyžaduje vyriešenie premennej, aby ste zistili, či je rovnaká (rovnaká) koreň) ako rovnica v inej rovnici.

Napríklad sú ekvivalentné nasledujúce rovnice:

• x = 5
• -2x = -10

V oboch prípadoch x = 5. Ako to vieme? Ako to vyriešite pre rovnicu "-2x = -10"? Prvým krokom je poznať pravidlá ekvivalentných rovníc:

• pridanie alebo odpočítaním toho istého čísla alebo výrazu na obe strany rovnice sa získa ekvivalentná rovnica.
• Vynásobením alebo delením oboch strán rovnice rovnakým nenulovým číslom sa získa ekvivalentná rovnica.
• Zdvihnutie oboch strán rovnice na rovnaká nepárna sila alebo ak použijeme rovnaký nepárny koreň, vytvoríme ekvivalentnú rovnicu.
• Ak obe strany rovnice nie súnegatívny, zdvihnutie obidvoch strán rovnice na rovnakú rovnomernú moc alebo zaujatie rovnakej rovnomernej koreňovej rovnice poskytne rovnocennú rovnicu.

Po zavedení týchto pravidiel do praxe určte, či sú tieto dve rovnice rovnocenné:

• x + 2 = 7
• 2x + 1 = 11

Ak chcete tento problém vyriešiť, musíte pre každý nájsť písmeno „x“ rovnice. Ak "x" je rovnaké pre obe rovnice, potom sú ekvivalentné. Ak je "x" odlišné (t. J. Rovnice majú rôzne korene), potom rovnice nie sú ekvivalentné. Pre prvú rovnicu:

• x + 2 = 7
• x + 2 - 2 = 7 - 2 (odčítaním oboch strán rovnakým číslom)
• x = 5

Pre druhú rovnicu:

• 2x + 1 = 11
• 2x + 1 - 1 = 11 - 1 (odpočítaním oboch strán rovnakým číslom)
• 2x = 10
• 2x / 2 = 10/2 (vydelením oboch strán rovnice rovnakým číslom)
• x = 5

Takže áno, obe rovnice sú ekvivalentné, pretože x = 5 v každom prípade.

Rovnaké rovnice môžete použiť v každodennom živote. Je to obzvlášť užitočné pri nakupovaní. Napríklad sa vám páči konkrétne tričko. Jedna spoločnosť ponúka košeľu za 6 dolárov a má 12 dolárov za dopravu, zatiaľ čo iná spoločnosť ponúka košeľu za 7,50 dolárov a 9 dolárov za dopravu. Ktoré tričko má najlepšiu cenu? Koľko košieľ (možno ich chcete získať pre priateľov), ktoré by ste museli kúpiť za rovnakú cenu pre obe spoločnosti?

Ak chcete vyriešiť tento problém, nech je „x“ počet košieľ. Najprv nastavte x = 1 na zakúpenie jednej košele. Pre spoločnosť č. 1:

• Cena = 6x + 12 = (6) (1) + 12 = 6 + 12 = 18 USD

Pre spoločnosť č. 2:

• Cena = 7,5 x + 9 = (1) (7,5) + 9 = 7,5 + 9 = 16,50 USD

Ak teda kupujete jednu košeľu, druhá spoločnosť ponúka lepšie riešenie.

Ak chcete nájsť bod, v ktorom sú ceny rovnaké, nechajte „x“ počet košieľ, ale nastavte dve rovnice navzájom. Ak chcete zistiť, koľko tričiek si musíte kúpiť, vyriešte výraz „x“:

• 6x + 12 = 7,5x + 9
• 6x - 7,5x = 9 - 12 (odčítanie rovnaké čísla alebo výrazy z každej strany)
• -1,5x = -3
• 1,5 x = 3 (vydelené obidvomi stranami rovnakým číslom, -1)
• x = 3 / 1,5 (obe strany delené 1,5)
• x = 2

Ak si kúpite dve košele, cena je rovnaká bez ohľadu na to, kde ju kúpite. Rovnakú matematiku môžete použiť na určenie, ktorá spoločnosť vám dáva lepšie riešenie s väčšími objednávkami, a tiež na výpočet toho, koľko ušetríte pomocou jednej spoločnosti oproti druhej. Vidíte, algebra je užitočná!

Ak máte dve rovnice a dve neznáme (x a y), môžete určiť, či sú dve sady lineárnych rovníc rovnocenné.

Napríklad, ak máte rovnice:

• -3x + 12r = 15
• 7x - 10r = -2

Môžete určiť, či je nasledujúci systém rovnocenný:

• -x + 4r = 5
• 7x-10r = -2

na vyriešiť tento problém, nájdite „x“ a „y“ pre každý systém rovníc. Ak sú hodnoty rovnaké, potom sú systémy rovníc rovnocenné.

Začnite s prvou sadou. Vyriešiť dva rovnice s dvoma premenné, izolovajte jednu premennú a zapojte jej riešenie do druhej rovnice. Ak chcete izolovať premennú „y“:

• -3x + 12r = 15
• -3x = 15 - 12r
• x = - (15 - 12r) / 3 = -5 + 4r (zapojte pre "x" v druhej rovnici)
• 7x - 10r = -2
• 7 (-5 + 4r) - 10r = -2
• -35 + 28 rokov - 10 rokov = -2
• 18r = 33
• y = 33/18 = 11/6

Teraz pripojte písmeno „y“ späť do ktorejkoľvek rovnice a pre písmeno „x“ ju nájdite:

• 7x - 10r = -2
• 7x = -2 + 10 (11/6)

Pri tomto postupe sa nakoniec dostanete x = 7/3.

Na zodpovedanie otázky, vy mohol aplikovať rovnaké princípy na druhú množinu rovníc, ktoré treba vyriešiť pre „x“ a „y“, aby sme zistili, že áno, sú skutočne rovnocenné. Je ľahké zapadnúť do algebry, takže je dobré skontrolovať svoju prácu pomocou online riešiteľ rovníc.

Dômyselný študent si však všimne, že tieto dve rovnice sú rovnocenné bez akýchkoľvek náročných výpočtov. Jediný rozdiel medzi prvou rovnicou v každej množine je ten, že prvá rovnica je trojnásobkom druhej rovnice (ekvivalentná). Druhá rovnica je úplne rovnaká.