Funkcia generovania momentu pre binomické rozdelenie

Priemer a rozptyl náhodnej premennej X s binomické rozdelenie pravdepodobnosti môže byť ťažké vypočítať priamo. Aj keď môže byť zrejmé, čo treba urobiť pri použití definície očakávaná hodnota z X a X², skutočným vykonaním týchto krokov je zložité žonglovanie s algebrou a sumarizáciou. Alternatívny spôsob stanovenia priemeru a rozptylu a binomické rozdelenie je používať funkcia generovania momentov pre X.

Začnite náhodnou premennou X a opíšte rozdelenia pravdepodobnosti konkrétnejšie. Hrať n nezávislé Bernoulliho skúšky, z ktorých každá má pravdepodobnosť úspechu p a pravdepodobnosť zlyhania 1 - p. Funkcia pravdepodobnostnej hmotnosti je teda

F (X) = C(n, X)p^X(1 – p)^{n - X}

Tu je termín C(n, X) označuje počet kombinácií n prijaté prvky X súčasne a X môžu mať hodnoty 0, 1, 2, 3,. .., n.

Pomocou tejto funkcie pravdepodobnosti hmotnosti získate funkciu generovania momentu X:

M(T) = Σ_{X = 0}ⁿe^txC(n,X)>)p^X(1 – p)^{n - X}.

Je zrejmé, že môžete kombinovať podmienky s exponentom X:

M(T) = Σ_{X = 0}ⁿ (pe^T)^XC(n,X)>)(1 – p)^{n - X}.

Ďalej, použitím binomického vzorca je vyššie uvedený výraz jednoducho:

M(T) = [(1 – p) + pe^T]ⁿ.

S cieľom nájsť Priemerný a rozptyl, budete musieť poznať oboje M“(0) a M’’(0). Najskôr vypočítajte svoje deriváty a potom každú z nich vyhodnoťte na T = 0.

Uvidíte, že prvá derivácia funkcie generovania okamihu je:

M’(T) = n(pe^T)[(1 – p) + pe^T]^{n - 1}.

Z toho môžete vypočítať priemer rozdelenia pravdepodobnosti. M(0) = n(pe⁰)[(1 – p) + pe⁰]^{n - 1} = np. Toto zodpovedá výrazu, ktorý sme získali priamo z definície priemeru.

Výpočet rozptylu sa vykonáva podobným spôsobom. Najprv znova oddeľte funkciu generovania okamihu a potom vyhodnotíme tento derivát na T = 0. Tu to uvidíte

M’’(T) = n(n - 1)(pe^T)²[(1 – p) + pe^T]^{n - 2} + n(pe^T)[(1 – p) + pe^T]^{n - 1}.

Na výpočet rozptylu tejto náhodnej premennej musíte nájsť M’’(T). Nech sa páči M’’(0) = n(n - 1)p² +np. Rozptyl σ² vašej distribúcie je

σ² = M’’(0) – [M’(0)]² = n(n - 1)p² +np - (np)² = np(1 - p).

Aj keď táto metóda je do určitej miery zapojená, nie je tak zložitá ako výpočet priemeru a rozptylu priamo z funkcie pravdepodobnostnej hmotnosti.