Čo je to petrohradský paradox?

Ste na uliciach Petrohradu v Rusku a starec navrhuje nasledujúcu hru. Prehodí mincu (a ak si neveríte, že jeho je spravodlivý, požičia si jednu z vašich). Ak dopadne chvosty, prehráte a hra končí. Ak minca vyrazí hore, vyhráte jeden rubeľ a hra pokračuje. Mince sa znova vyhodia. Ak je to chvost, hra končí. Ak je to hlava, potom vyhráte ďalšie dva rubly. Hra pokračuje týmto spôsobom. Pre každú nasledujúcu hlavu zdvojnásobíme naše výhry z predchádzajúceho kola, ale na znamenie prvého chvosta je hra hotová.

Koľko by ste zaplatili za hranie tejto hry? Keď vezmeme do úvahy očakávaná hodnota tejto hry, mali by ste skočiť na šancu, bez ohľadu na to, aké sú náklady na hranie. Z vyššie uvedeného popisu však pravdepodobne nebudete ochotní platiť veľa. Koniec koncov, existuje 50% pravdepodobnosť, že nič nezískate. Toto je známe ako Petrohradský paradox, pomenovaný kvôli publikácii Daniela Bernoulliho z roku 1738 Komentáre Imperial Academy of Science v Petrohrade.

Začnime výpočtom

• Pravdepodobnosť dvoch hláv v rade je (1/2)) x (1/2) = 1/4.
• Pravdepodobnosť troch hláv v rade je (1/2) x (1/2) x (1/2) = 1/8.
• Vyjadriť pravdepodobnosť n hlavy v rade, kde n je celé kladné číslo, ktoré používame exponentov na napísanie 1/2ⁿ.

Poďme ďalej a uvidíme, či dokážeme zovšeobecniť, aké by boli výhry v každom kole.

• Ak máte v prvom kole hlavu, vyhráte za toto kolo jeden rubeľ.
• Ak je v druhom kole hlava, vyhráte v tomto kole dva rubľov.
• Ak je v treťom kole hlava, vyhráte v tomto kole štyri rubľov.
• Ak ste mali to šťastie, aby ste to dosiahli celú cestu n^th kolo, potom vyhráte 2^n-1 rubľov v tomto kole.

Očakávaná hodnota hry nám hovorí, aké by boli priemerné výhry, keby ste hru hrali mnohokrát. Na výpočet očakávanej hodnoty vynásobíme hodnotu výhier z každého kola pravdepodobnosťou, že sa do tohto kola dostaneme, a potom všetky tieto produkty spočítame.

• Od prvého kola máte pravdepodobnosť 1/2 a výhry 1 rubeľ: 1/2 x 1 = 1/2
• Z druhého kola máte pravdepodobnosť 1/4 a výhru 2 rubľov: 1/4 x 2 = 1/2
• Od prvého kola máte pravdepodobnosť 1/8 a výhry 4 rubľov: 1/8 x 4 = 1/2
• Od prvého kola máte pravdepodobnosť 1/16 a výhry 8 rubľov: 1/16 x 8 = 1/2
• Od prvého kola máte pravdepodobnosť 1/2ⁿ a výhry 2^n-1 rubľov: 1/2ⁿ x 2^n-1 = 1/2

Hodnota z každého kola je 1/2 a výsledky sa pripočítavajú z prvého kola n kola dohromady nám poskytujú očakávanú hodnotu n/ 2 rubľov. od tej doby n môže byť akékoľvek kladné celé číslo, očakávaná hodnota je neobmedzená.

Čo by ste mali zaplatiť za hranie? Rubeľ, tisíc rubľov alebo dokonca a miliardy rubľov by boli všetky z dlhodobého hľadiska nižšie ako očakávaná hodnota. Napriek vyššie uvedenému výpočtu, ktorý sľubuje nevýslovné bohatstvo, by sme sa všetci stále zdráhali platiť veľa za hranie.

Existuje veľa spôsobov, ako vyriešiť paradox. Jedným z jednoduchších spôsobov je to, že nikto by neponúkal takú hru, ako je tá opísaná vyššie. Nikto nemá nekonečné zdroje, ktoré by bolo potrebné zaplatiť niekomu, kto pokračoval v otáčaní hlavami.

Ďalším spôsobom, ako vyriešiť paradox, je poukázať na to, aké je nepravdepodobné dostať niečo ako 20 hláv za sebou. pravdepodobnosť z tohto diania sú lepšie ako vyhrať väčšinu štátu lotérie. Ľudia bežne hrajú takéto lotérie za päť dolárov alebo menej. Cena za hru v Petrohrade by teda pravdepodobne nemala prekročiť pár dolárov.

Ak je muž v St. Petersburg hovorí, že hranie jeho hry bude stáť čokoľvek viac ako niekoľko rubľov, mali by ste sa slušne odmietnuť a odísť. Rubly za to rovnako nestoja.