Chuck-a-Luck je hazardná hra. Tri kocky sú zvinuté, niekedy v drôtenom ráme. Vďaka tomuto rámu sa táto hra nazýva aj klietka pre vtáky. Táto hra sa častejšie vyskytuje v karnevaloch než v kasínach. Vzhľadom na použitie náhodných kocky však môžeme túto hru analyzovať pomocou pravdepodobnosti. Konkrétnejšie môžeme vypočítať očakávanú hodnotu tejto hry.
stávky
Existuje niekoľko druhov stávok, na ktoré je možné staviť. Budeme brať do úvahy iba stávku s jedným číslom. Na tejto stávke jednoducho vyberieme konkrétne číslo od jedného do šiestich. Potom hodíme kockami. Zvážte možnosti. Všetky kocky, dve z nich, jedna alebo žiadna, nemohli ukázať číslo, ktoré sme si vybrali.
Predpokladajme, že táto hra zaplatí nasledujúce položky:
- 3 $, ak sa všetky tri kocky zhodujú s vybraným číslom.
- $ 2, ak sa presne zvoleným číslom zhodujú dve kocky.
- $ 1, ak sa presne jedna z kocky zhoduje s vybraným číslom.
Ak sa žiadna z kocky nezhoduje s vybraným číslom, potom musíme zaplatiť $ 1.
Aká je očakávaná hodnota tejto hry? Inými slovami, z dlhodobého hľadiska, koľko by sme v priemere očakávali, že vyhrá alebo prehrá, keby sme túto hru hrali opakovane?
pravdepodobnosti
Aby sme našli očakávanú hodnotu tejto hry, musíme určiť štyri pravdepodobnosti. Tieto pravdepodobnosti zodpovedajú štyrom možným výsledkom. Poznamenávame, že každá matrica je nezávislá od ostatných. Kvôli tejto nezávislosti používame pravidlo množenia. Pomôže nám to pri určovaní počtu výsledkov.
Tiež predpokladáme, že kocky sú spravodlivé. Rovnako je pravdepodobné, že každá zo šiestich strán na každej z troch kociek bude zvinutá.
Z hádzania týchto troch kociek existuje 6 x 6 x 6 = 216 možných výsledkov. Toto číslo bude menovateľom všetkých našich pravdepodobností.
Existuje jeden spôsob, ako spojiť všetky tri kocky s vybraným číslom.
Existuje päť spôsobov, ako jediná matrica nezodpovedá vybranému číslu. To znamená, že existuje 5 x 5 x 5 = 125 spôsobov, ako žiadna z našich kociek nezodpovedá zvolenému číslu.
Ak vezmeme do úvahy presne dve zhodné kocky, potom máme jednu kostku, ktorá sa nezhoduje.
- Existujú 1 x 1 x 5 = 5 spôsobov, ako sa prvé dve kocky zhodujú s naším číslom a tretia bude odlišná.
- Existujú 1 x 5 x 1 = 5 spôsobov, ako sa zhoduje prvá a tretia kocka, pričom druhá sa líši.
- Existuje 5 x 1 x 1 = 5 spôsobov, ako sa prvá matrica odlišuje a ako druhá a tretia zhoda.
To znamená, že existuje celkom 15 spôsobov, ako presne prispôsobiť dve kocky.
Teraz sme vypočítali počet spôsobov, ako získať všetky okrem jedného z našich výsledkov. K dispozícii je 216 kotúčov. Zúčtovali sme 1 + 15 + 125 = 141 z nich. To znamená, že zostalo 216 - 141 = 75.
Zhromažďujeme všetky vyššie uvedené informácie a vidíme:
- Pravdepodobnosť, že sa naše číslo zhoduje so všetkými tromi kockami, je 1/216.
- Pravdepodobnosť, že sa naše číslo presne zhoduje s dvoma kockami, je 15/216.
- Pravdepodobnosť, že sa naše číslo presne zhoduje s jednou formou, je 75/216.
- Pravdepodobnosť, že sa naše číslo nezhoduje so žiadnou z kocky, je 125/216.
Očakávaná hodnota
Teraz sme pripravení vypočítať očakávaná hodnota tejto situácie. vzorec pre očakávanú hodnotu vyžaduje, aby sme vynásobili pravdepodobnosť každej udalosti čistým ziskom alebo stratou, ak k udalosti dôjde. Potom pridáme všetky tieto produkty spolu.
Očakávaná hodnota sa vypočíta takto:
(3)(1/216) + (2)(15/216) +(1)(75/216) +(-1)(125/216) = 3/216 +30/216 +75/216 -125/216 = -17/216
To je približne - 0,08 USD. Interpretácia je taká, že keby sme túto hru hrali opakovane, priemerne by sme pri každej hre stratili v priemere 8 centov.