Pravdepodobnosť valenia Yahtzee

Yahtzee je hra s kockami zahŕňajúca kombináciu náhody a stratégie. Hráč začne svoj ťah hádzaním piatich kociek. Po tomto hode sa hráč môže rozhodnúť hodiť ľubovoľným počtom kociek. Na každé kolo sú nanajvýš tri rolky. Po týchto troch hodoch sa výsledok kocky zapíše do výsledkovej listiny. Tento výsledkový list obsahuje rôzne kategórie, napríklad a plný dom alebo veľké rovné. Každá z kategórií je spokojná s rôznymi kombináciami kocky.

Najťažšou kategóriou na vyplnenie je kategória Yahtzee. Yahtzee nastane, keď hráč hodí päť z toho istého čísla. Aké nepravdepodobné je Yahtzee? To je problém, ktorý je oveľa komplikovanejší ako zistenie pravdepodobnosti dva alebo dokonca tri kocky. Hlavným dôvodom je to, že existuje veľa spôsobov, ako získať päť zhodných kocky počas troch hodov.

Pravdepodobnosť rozloženia Yahtzee môžeme vypočítať pomocou kombinatorického vzorca pre kombinácie a rozdelením problému na niekoľko vzájomne sa vylučujúce prípady.

Najjednoduchší prípad, ktorý by ste mali zvážiť, je získanie Yahtzee okamžite na prvom hode. Najprv sa pozrieme na

Pravdepodobnosť rozmiestnenia dvoch je 1/6 a výsledok každej matrice je nezávislý od ostatných. Pravdepodobnosť vyhodenia piatich dvojíc je teda (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) = 1/7776. Pravdepodobnosť rozmiestnenia piatich druhov akéhokoľvek iného čísla je tiež 1/7776. Pretože na matrici je celkom šesť rôznych čísel, vynásobíme vyššie uvedenú pravdepodobnosť 6.

To znamená, že pravdepodobnosť Yahtzee na prvom valci je 6 x 1/7776 = 1/1296 = 0,08 percenta.

Ak hodíme niečo iné ako päť z prvého hodu, budeme musieť znova hodiť niektoré z kocky, aby sme sa pokúsili získať Yahtzee. Predpokladajme, že naše prvé hodenie má štyri druhy. znovu by sme hodili tú matricu, ktorá sa nezhoduje, a potom sme dostali Yahtzee na toto druhé hodenie.

Pravdepodobnosť rozmiestnenia celkom piatich dvojíc týmto spôsobom sa zistí takto:

1. V prvom kole máme štyri dvojičky. Pretože existuje pravdepodobnosť 1/6 valcovania dvoch a 5/6 valcovania dvoch, vynásobíme (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x ( 5/6) = 5/7776.
2. Ktorýkoľvek z piatich kocky valcované mohli by to byť tí dvaja. Používame náš kombinovaný vzorec pre C (5, 1) = 5, aby sme spočítali, koľko spôsobov môžeme hodiť štyri dvojky a niečo, čo nie je dva.
3. Vynásobíme sa a vidíme, že pravdepodobnosť, že sa na prvý kotúč hodia presne štyri dvojky, je 25/7776.
4. Na druhom valci musíme vypočítať pravdepodobnosť hodenia jedného. To je 1/6. Pravdepodobnosť pretočenia Yahtzee dvojičiek vyššie uvedeným spôsobom je (25/7776) x (1/6) = 25/46656.

Ak chcete nájsť pravdepodobnosť hodenia akéhokoľvek Yahtzee týmto spôsobom, zistíme vynásobením vyššie uvedenej pravdepodobnosti 6, pretože na raznici je šesť rôznych čísel. To dáva pravdepodobnosť 6 x 25/46656 = 0,32 percent.

Toto však nie je jediný spôsob, ako previnúť Yahtzeea dvoma rolkami. Všetky nasledujúce pravdepodobnosti sa nachádzajú takmer rovnakým spôsobom ako vyššie.

• Mohli by sme hodiť tromi druhmi a potom dvoma kockami, ktoré sa zhodujú s naším druhým hodom. Pravdepodobnosť toho je 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (1/36) = 0,54%.
• Mohli by sme hodiť zodpovedajúcim párom a na našej druhej hodine tri kocky, ktoré sa zhodujú. Pravdepodobnosť toho je 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (1/216) = 0,36 percenta.
• Mohli by sme hodiť piatimi rôznymi kockami, zachrániť jednu kostku z nášho prvého hodu a potom hodiť štyri kocky, ktoré sa zhodujú s druhým hodom. Pravdepodobnosť toho je (6! / 7776) x (1/1296) = 0,01 percenta.

Vyššie uvedené prípady sa vzájomne vylučujú. To znamená, že na výpočet pravdepodobnosti rozloženia Yahtzee v dvoch kotúčoch spočítame uvedené pravdepodobnosti spolu a máme približne 1,23 percenta.

V najzložitejšej situácii teraz preskúmame prípad, keď použijeme všetky tri naše kotúče na získanie Yahtzee. Mohli by sme to urobiť niekoľkými spôsobmi a musíme za ne zodpovedať všetky.

Pravdepodobnosť týchto možností je vypočítaná nižšie:

• Pravdepodobnosť vyhodenia štyroch druhov, potom nič, potom vyrovnanie poslednej matrice na poslednom zvitku je 6 x C (5, 4) x (5/7776) x (5/6) x (1/6) = 0,27 percenta.
• Pravdepodobnosť hodenia troch druhov, potom nič, potom párovanie so správnym párom na poslednom páse je 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (25/77) x (25/36) x (1/36) = 0,37 percenta.
• Pravdepodobnosť rozmiestnenia párov na párovanie, potom nič, potom párovanie so správnymi tromi druhmi na treťom valci, je 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (125/216) x (1/216 ) = 0,21%.
• Pravdepodobnosť valcovania jednej formy, potom nič, čo by sa zhodovalo s týmto, potom párovanie so správnymi štyrmi druhmi na treťom valci je (6! / 7776) x (625/1296) x (1/1296) = 0,003 percenta.
• Pravdepodobnosť hodenia troch druhov, prispôsobenie ďalšej matrici na nasledujúcom hode, nasledované prispôsobenie piatej matrice na treťom valci je 6 x C (5, 3) x (25/7776) x C (2, 1) x (5/36) x (1/6) = 0,89 percenta.
• Pravdepodobnosť zvinutia páru, zladenie ďalšieho páru na nasledujúcom páse, nasledované zladením piata matrica na treťom kotúči je 6 x C (5, 2) x (100/7776) x C (3,2) x (5/216) x (1/6) = 0,89 percenta.
• Pravdepodobnosť hodenia páru, prispôsobenie ďalšej zápustke na nasledujúcom hode, nasledovanie zhody posledné dve kocky na treťom valci sú 6 x C (5, 2) x (100/7776) x C (3,1) x (25/216) x (1/36) = 0,74 percenta.
• Pravdepodobnosť hádzania jedného druhu, iného typu, aby sa zhodovala s druhým valcom, a potom troch druhov na treťom valci, je (6! / 7776) x C (4, 1) x (100/1296). x (1/216) = 0,01 percenta.
• Pravdepodobnosť hádzania jedného druhu, troch druhov, ktoré zodpovedajú druhému valcu, po ktorom nasleduje zápas na treťom valci, je (6! / 7776) x C (4, 3) x (5/1296) x (1/6) = 0,02 percenta.
• Pravdepodobnosť hádzania jedného druhu, dvojice, ktorá sa zhoduje s druhým valcom, a potom ďalšej dvojice, ktorá sa zhoduje s tretím valcom, je (6! / 7776) x C (4, 2) x (25/1296) x (1/36) = 0,03 percenta.

Sčítame všetky vyššie uvedené pravdepodobnosti spolu, aby sme určili pravdepodobnosť hodenia Yahtzee do troch hodov kockami. Táto pravdepodobnosť je 3,43 percenta.

Pravdepodobnosť Yahtzee na jednom valci je 0,08 percenta, pravdepodobnosť Yahtzee na dvoch valcoch je 1,23 percenta a pravdepodobnosť Yahtzee na troch valcoch je 3,43 percenta. Pretože každý z nich sa vzájomne vylučujú, sčítame pravdepodobnosti spolu. To znamená, že pravdepodobnosť získania Yahtzee v danom kole je približne 4,74%. Aby sme to uviedli do perspektívy, keďže 1/21 je približne 4,74 percenta, hráč by mal náhodou očakávať Yahtzee raz za 21 otočení. V praxi to môže trvať dlhšie, pretože počiatočný pár môže byť vyradený, aby sa hodil za niečo iné, ako napr rovno.