Očakávaná hodnota binomického rozdelenia

Binomické distribúcie sú dôležitou triedou diskrétnych rozdelenie pravdepodobnosti. Tieto typy distribúcií sú sériou n nezávislé Bernoulliho pokusy, z ktorých každá má stálu pravdepodobnosť p úspechu. Rovnako ako pri akomkoľvek rozdelení pravdepodobnosti by sme chceli vedieť, čo to znamená alebo stred. Preto sa skutočne pýtame: „Čo je to očakávaná hodnota binomického rozdelenia? “

Ak dôkladne premýšľame o a binomické rozdelenie, nie je ťažké určiť, či sa očakáva hodnota tohto typu rozdelenia pravdepodobnosti je np. Pre niekoľko rýchlych príkladov zvážte nasledujúce:

• Ak hodíme 100 mincí, a X je počet hláv, očakávaná hodnota X je 50 = (1/2) 100.
• Ak robíme test s viacnásobným výberom s 20 otázkami a každá otázka má štyri možnosti (iba jedna z nich) čo je správne), potom by sme náhodne hádali, že by sme očakávali len, že dostaneme (1/4) 20 = 5 otázok správna.

V obidvoch týchto príkladoch to vidíme E [X] = n s. Dva prípady nestačia na dosiahnutie záveru. Aj keď je intuícia dobrým nástrojom, ktorý nás vedie, nestačí len vytvoriť matematický argument a dokázať, že niečo je pravda. Ako definitívne dokážeme, že očakávaná hodnota tohto rozdelenia je skutočne

Z definície očakávanej hodnoty a pravdepodobnostnej hmotnostnej funkcie pre binomické rozdelenie z n skúšky pravdepodobnosti úspechu p, môžeme preukázať, že naša intuícia sa zhoduje s výsledkami matematickej prísnosti. V našej práci musíme byť trochu opatrní a svižní pri manipulácii s binomickým koeficientom, ktorý je daný vzorcom pre kombinácie.

Začneme s použitím vzorca:

E [X] = Σ _{x = 0}ⁿ x C (n, x) p^X(1-p)^{n - x}.

Od každého súčtu súčtu sa vynásobí X, hodnota výrazu zodpovedajúca x = 0 bude 0, takže môžeme skutočne napísať:

E [X] = Σ _{x = 1}ⁿ x C (n, x) p ^X (1 - p) ^{n - x} .

Manipuláciou s faktormi zahrnutými do výrazu C (n, x) môžeme prepísať

x C (n, x) = nC (n - 1, x - 1).

Je to tak preto, lebo:

x C (n, x) = xn! / (x! (n - x)!) = n! / ((x - 1)! (n - x)!) = n (n - 1)! / (( x - 1)! ((n - 1) - (x - 1))!) = nC (n - 1, x - 1).

Z toho vyplýva, že:

E [X] = Σ _{x = 1}ⁿ n C (n - 1, x - 1) s ^X (1 - p) ^{n - x} .

Vyrábame faktor n a jeden p z vyššie uvedeného výrazu:

E [X] = np Σ _{x = 1}ⁿ C (n - 1, x - 1) s ^{x - 1} (1 - p) ^{(n - 1) - (x - 1)} .

Zmena premenných r = x - 1 dáva nám:

E [X] = np Σ _{r = 0}^{n - 1} C (n - 1, r), str ^r (1 - p) ^{(n - 1) - r} .

Podľa binomického vzorca (x + y)^k = Σ _{r = 0} ^kC (k, r) x^r y^{k - r} Sumár uvedený vyššie môže byť prepísaný:

E [X] = (np) (p + (1 - p))^{n - 1} = np.

Vyššie uvedený argument nás urobil dlhú cestu. Od začiatku iba s definíciou očakávanej hodnoty a pravdepodobnostnej hmotnostnej funkcie pre binomické rozdelenie sme dokázali, čo nám povedala naša intuícia. Očakávaná hodnota binomické rozdelenieB (n, p) je n s.