Definícia a využitie únie v matematike

Jedna operácia, ktorá sa často používa na vytváranie nových súborov zo starých, sa nazýva spojenie. V bežnom používaní slovo odbor znamená spojenie, napríklad odbory v organizovanej práci alebo internetový obchod Štát Únie adresa, ktorú USA prezident robí pred spoločným zasadnutím kongresu. Z matematického hľadiska si spojenie dvoch súborov zachováva túto myšlienku spojenia. Presnejšie povedané, spojenie dvoch sád a B je množina všetkých prvkov X taký, že X je prvkom množiny alebo X je prvkom množiny B. Slovo, ktoré znamená, že používame spojenie, je slovo „alebo“.

Keď používame slovo „alebo“ v každodenných konverzáciách, nemusíme si uvedomiť, že sa toto slovo používa dvoma rôznymi spôsobmi. Tento spôsob sa zvyčajne odvodzuje z kontextu konverzácie. Ak by sa vás opýtali „Chceli by ste kurča alebo steak?“ obvyklým dôsledkom je, že môžete mať jednu alebo druhú, ale nie oboje. V kontraste s otázkou: „Chceli by ste pečené zemiaky maslo alebo kyslou smotanu?“ Tu je „alebo“ používa sa v inkluzívnom zmysle v tom, že si môžete vybrať iba maslo, iba kyslú smotanu alebo maslo aj kyslú krém.

V matematike sa slovo „alebo“ používa v inkluzívnom zmysle. Takže vyhlásenie, “X je prvok alebo prvok B„znamená, že je možné jedno z troch:

• X je prvkom spravodlivosti a nie je to prvok B
• X je prvkom spravodlivosti B a nie je to prvok .
• X je prvkom oboch a B. (Dalo by sa to tiež povedať X je prvok priesečníka a B

Ako príklad toho, ako spojenie dvoch sád tvorí novú súpravu, sa pozrime na súpravy = {1, 2, 3, 4, 5} a B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Aby sme našli spojenie týchto dvoch sád, jednoducho uvádzame zoznam všetkých prvkov, ktoré vidíme, dávajte pozor, aby ste nezdvojovali žiadne prvky. Čísla 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 sú buď v jednej množine alebo v druhej, a preto sú a B je {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Okrem pochopenia konceptov týkajúcich sa operácií teórie množín je dôležité vedieť čítať symboly používané na označenie týchto operácií. Symbol používaný na spojenie týchto dvoch súprav a B je daný ∪ B. Jedným zo spôsobov, ako si zapamätať symbol ∪ znamená spojenie, je všimnúť si jeho podobnosť s veľkým písmenom U, ktoré je skratka pre slovo „únie“. Buďte opatrní, pretože symbol spojenia je veľmi podobný symbolu pre križovatka. Jeden sa získa od druhého vertikálnym preklopením.

Ak chcete vidieť tento zápis v akcii, vráťte sa späť k vyššie uvedenému príkladu. Tu sme mali súpravy = {1, 2, 3, 4, 5} a B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Takže by sme napísali stanovenú rovnicu ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }.

Jedna základná identita, ktorá sa týka únie, nám ukazuje, čo sa stane, keď vezmeme spojenie ktorejkoľvek sady s prázdnou množinou označenou číslom 8709. Prázdna súprava je sada bez prvkov. Takže pripojenie sa k akémukoľvek inému súboru nebude mať žiadny účinok. Inými slovami, spojenie ktorejkoľvek súpravy s prázdnou súpravou nám poskytne pôvodnú súpravu späť

Táto identita sa s použitím našej notácie stáva ešte kompaktnejšou. Máme identitu: ∪ ∅ = .

Čo sa týka druhého extrému, čo sa stane, keď preskúmame spojenie súboru s univerzálnym setom? Pretože univerzálna sada obsahuje všetky prvky, nemôžeme k tomu pridať nič iné. Takže spojenie alebo akákoľvek súprava s univerzálnou súpravou je univerzálna súprava.

Náš zápis nám opäť pomáha vyjadriť túto identitu v kompaktnejšom formáte. Pre každú sadu a univerzálny set U, ∪ U = U.

Existuje mnoho ďalších stanovených identít, ktoré zahŕňajú použitie operácie únie. Samozrejme, vždy je dobré praxe pomocou jazyka teórie množín. Niektoré z najdôležitejších sú uvedené nižšie. Pre všetky sady a B a D máme:

• Reflexné vlastníctvo: ∪ =
• Commutative Property: ∪ B = B ∪
• Asociačné vlastníctvo: ( ∪ B) ∪ D = ∪ (B ∪ D)
• DeMorganov zákon I: ( ∩ B)^C = ^C ∪ B^C
• DeMorgan's Law II: ( ∪ B)^C = ^C ∩ B^C