Faktor (!) V matematike a štatistike

V matematike symboly, ktoré majú niektoré významy v anglickom jazyku môže znamenať veľmi špecializované a odlišné veci. Zoberme si napríklad nasledujúci výraz:

3!

Nie, nepoužili sme výkričník aby sme ukázali, že sme nadšení tromi, a poslednú vetu by sme nemali čítať s dôrazom. V matematike výraz 3! sa chápe ako „trojfaktorový“ a je to skrátka spôsob, ako označiť násobenie niekoľkých po sebe idúcich celých čísel.

Pretože v matematike a štatistike je veľa miest, kde je potrebné čísla znásobiť, faktoriál je celkom užitočný. Niektoré z hlavných miest, kde sa to prejavuje, sú kombinatorika a pravdepodobnosť počet.

Definícia faktoriálu je definícia pre akékoľvek kladné celé číslo n, faktoriál:

n! = n x (n -1) x (n - 2) x... x 2 x 1

Najprv sa pozrieme na niekoľko príkladov faktoriálu s malými hodnotami n:

• 1! = 1
• 2! = 2 x 1 = 2
• 3! = 3 x 2 x 1 = 6
• 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
• 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
• 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
• 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040
• 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320
instagram viewer
• 9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362880
• 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3628800

Ako vidíme, faktoriál sa veľmi rýchlo zväčšuje. Niečo, čo sa môže zdať malé, napríklad 20! v skutočnosti má 19 číslic.

Faktory sa dajú ľahko vypočítať, ale ich výpočet môže byť dosť zdĺhavý. Našťastie mnoho kalkulačiek má faktorový kľúč (pozrite sa na! symbol). Táto funkcia kalkulačky automatizuje násobenia.

Jedna ďalšia hodnota faktoriálu a hodnota, pre ktorú neplatí vyššie uvedená štandardná definícia, je hodnota nulový faktoriál. Ak sa budeme riadiť vzorcom, potom nedosiahneme žiadnu hodnotu pre 0!. Neexistujú kladné celé čísla menšie ako 0. Z niekoľkých dôvodov je vhodné definovať 0! = 1. Faktoriál pre túto hodnotu sa prejavuje najmä vo vzorcoch pre kombinácie a permutácie.

Pri výpočtoch je dôležité myslieť skôr, ako stlačíme faktorový kľúč na našej kalkulačke. Na výpočet výrazu ako 100! / 98! existuje niekoľko rôznych spôsobov, ako to dosiahnuť.

Jedným zo spôsobov je použitie a kalkulačka nájsť oboch 100! a 98!, potom rozdelte jeden po druhom. Aj keď je to priamy spôsob výpočtu, má s tým určité ťažkosti. Niektoré kalkulačky nedokážu spracovať výrazy až 100! = 9,33262154 x 10¹⁵⁷. (Výraz 10¹⁵⁷ je vedecký zápis, ktorý znamená, že vynásobíme 1 a potom 157 núl.) Nielenže je toto číslo masívne, ale je to iba odhad skutočnej hodnoty 100!

Ďalší spôsob, ako zjednodušiť výraz s faktormi, ako je ten, ktorý tu vidíte, nevyžaduje kalkulačku. Spôsob, ako priblížiť tento problém, je uznať, že môžeme prepísať 100! nie ako 100 x 99 x 98 x 97 x... x 2 x 1, ale namiesto toho ako 100 x 99 x 98! Výraz 100! / 98! teraz sa stáva (100 x 99 x 98!) / 98! = 100 x 99 = 9900.