Hra Yahtzee spočíva v použití piatich štandardných kociek. Na každom kole dostanú hráči tri hody. Po každom hodení sa môže držať ľubovoľný počet kociek s cieľom získať konkrétne kombinácie týchto kociek. Každý iný druh kombinácie má inú hodnotu.
Jedna z týchto kombinácií sa nazýva full house. Rovnako ako celý dom v pokri, táto kombinácia obsahuje tri z určitého čísla spolu s párom iného čísla. Pretože Yahtzee zahŕňa náhodné kocky, túto hru možno analyzovať pomocou pravdepodobnosti na určenie pravdepodobnosti, že bude hodiť celý dom do jedného hodenia.
predpoklady
Začneme uvádzaním našich predpokladov. Predpokladáme, že použité kocky sú spravodlivé a navzájom nezávislé. To znamená, že máme jednotný priestor na vzorky pozostávajúci zo všetkých možných zvitkov piatich kociek. Aj keď hra Yahtzee umožňuje tri zvitky, vezmeme do úvahy iba prípad, že celý dom získame v jednom zvitku.
Vzorový priestor
Pretože pracujeme s a uniformavzorový priestor, výpočet našej pravdepodobnosti sa stáva výpočtom niekoľkých problémov s počítaním. Pravdepodobnosť úplného domu je počet spôsobov, ako sa hodiť celým domom, vydelený počtom výsledkov v priestore vzorky.
Počet výsledkov vo vzorkovacom priestore je jednoduchý. Pretože existuje päť kociek a každá z týchto kociek môže mať jeden zo šiestich rôznych výsledkov, počet výsledkov vo vzorke je 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 65 = 7776.
Počet úplných domov
Ďalej vypočítame počet spôsobov, ako nasadiť celý dom. Toto je ťažší problém. Aby sme mohli mať celý dom, potrebujeme tri z jedného druhu kocky, za ktorým nasleduje pár rôznych druhov kocky. Tento problém rozdelíme na dve časti:
- Aký je počet rôznych typov plných domov, ktoré je možné rolovať?
- Aký je počet spôsobov, ako by mohol byť zvinutý konkrétny typ plného domu?
Keď ich poznáme, môžeme ich znásobiť, aby sme dostali celkový počet plných domov, ktoré je možné zvinúť.
Začneme tým, že sa pozrieme na počet rôznych typov plných domov, ktoré je možné rolovať. Ktorékoľvek z čísel 1, 2, 3, 4, 5 alebo 6 by sa mohlo použiť pre tieto tri druhy. Zostáva päť čísel pre pár. Existuje teda 6 x 5 = 30 rôznych typov kombinácií full house, ktoré je možné rolovať.
Napríklad by sme mohli mať 5, 5, 5, 2, 2 ako jeden typ plného domu. Ďalším typom celého domu by boli 4, 4, 4, 1, 1. Ďalším by ešte boli 1, 1, 4, 4, 4, čo je iné ako predchádzajúci celý dom, pretože boli zmenené úlohy štyroch a tých štyroch.
Teraz určujeme rôzne spôsoby, ako hodiť konkrétny celý dom. Napríklad každá z nasledujúcich možností nám dáva rovnaký dom plný troch štvoríc a dvoch:
- 4, 4, 4, 1, 1
- 4, 1, 4, 1, 4
- 1, 1, 4, 4, 4
- 1, 4, 4, 4, 1
- 4, 1, 4, 4, 1
Vidíme, že existuje najmenej päť spôsobov, ako postaviť konkrétny celý dom. Existujú iní? Aj keď stále uvádzame ďalšie možnosti, ako vieme, že sme ich všetky našli?
Kľúčom k zodpovedaniu týchto otázok je uvedomiť si, že sa zaoberáme problémom s počítaním a určiť, s akým typom problému s počítaním pracujeme. Existuje päť miest a tri z nich musia byť obsadené štyrmi. Poradie, v ktorom umiestňujeme naše štyri, nezáleží, pokiaľ sú obsadené presné pozície. Po určení polohy štyroch je umiestnenie týchto automatov automatické. Z týchto dôvodov musíme zvážiť kombinácie z piatich pozícií obsadených po troch.
Na získanie používame kombinovaný vzorec C(5, 3) = 5! / (3! 2!) = (5 x 4) / 2 = 10. To znamená, že existuje 10 rôznych spôsobov, ako prevrátiť celý dom.
Celkovo to všetko máme náš počet plných domov. Existuje 10 x 30 = 300 spôsobov, ako získať celý dom v jednom kotúči.
pravdepodobnosť
Teraz pravdepodobnosť úplného domu je jednoduchý výpočet delenia. Pretože existuje 300 spôsobov, ako hodiť celý dom do jedného hodu a existuje 7776 kotúčov z piatich kociek, pravdepodobnosť hodenia celého domu je 300/7776, čo je blízko 1/26 a 3,85%. To je 50-krát väčšia pravdepodobnosť ako hodenie Yahtzee do jedného zvitku.
Je samozrejme veľmi pravdepodobné, že prvý valec nie je úplný dom. Ak je to tak, máme ďalšie dve role, vďaka ktorým je celý dom oveľa pravdepodobnejší. Pravdepodobnosť tohto zistenia je oveľa komplikovanejšia kvôli všetkým možným situáciám, ktoré by bolo potrebné zvážiť.