Náhodné premenné s binomickým rozdelením sú známe ako diskrétne. To znamená, že existuje početné množstvo výsledkov, ktoré sa môžu vyskytnúť pri binomickom rozdelení, s oddelením medzi týmito výsledkami. Napríklad binomická premenná môže mať hodnotu tri alebo štyri, ale nie číslo medzi tromi a štyrmi.
Pri diskrétnom charaktere binomického rozdelenia je trochu prekvapujúce, že na priblíženie binomického rozdelenia je možné použiť spojitú náhodnú premennú. Pre veľa binomické distribúcie, môžeme použiť bežné rozdelenie na priblíženie našich binomických pravdepodobností.
Toto je vidieť pri pohľade na n hádzanie a prenájom mincí X je počet hláv. V tejto situácii máme binomické rozdelenie s pravdepodobnosťou úspechu ako p = 0,5. Keď zvyšujeme počet hodov, vidíme, že pravdepodobnosť histogram má väčšiu a väčšiu podobnosť s normálnym rozdelením.
Vyhlásenie o normálnej aproximácii
Každé normálne rozdelenie je úplne definované dvoma skutočné čísla. Tieto čísla sú stredné hodnoty, ktoré merajú stred distribúcie, a
smerodajná odchýlka, ktorý meria rozšírenie distribúcie. Pre danú binomickú situáciu musíme byť schopní určiť, ktoré normálne rozdelenie sa má použiť.Výber správneho normálneho rozdelenia je určený počtom pokusov n v binomickom prostredí a stála pravdepodobnosť úspechu p pre každú z týchto skúšok. Normálna aproximácia pre našu binomickú premennú je stredná hodnota np a smerodajná odchýlka (np(1 - p)0.5.
Predpokladajme napríklad, že sme uhádli každú zo 100 otázok testu s možnosťou výberu z viacerých odpovedí, pričom každá otázka mala jednu správnu odpoveď zo štyroch možností. Počet správnych odpovedí X je binomická náhodná premenná s n = 100 a p = 0.25. Táto náhodná premenná má teda strednú hodnotu 100 (0,25) = 25 a štandardnú odchýlku (100 (0,25) (0,75)).0.5 = 4.33. Normálna distribúcia so strednou hodnotou 25 a štandardnou odchýlkou 4,33 bude pracovať na aproximácii tohto binomického rozdelenia.
Kedy je aproximácia vhodná?
Použitím určitej matematiky je možné dokázať, že existuje niekoľko podmienok, ktoré musíme použiť na normálnu aproximáciu k binomické rozdelenie. Počet pozorovaní n musí byť dostatočne veľká a hodnota p takže oboje np a n(1 - p) sú väčšie alebo rovné 10. Toto je všeobecné pravidlo, ktoré sa riadi štatistickou praxou. Normálna aproximácia sa môže vždy použiť, ale ak tieto podmienky nie sú splnené, aproximácia nemusí byť tak dobrá ako aproximácia.
Napríklad, ak n = 100 a p = 0,25, potom sme oprávnení používať normálnu aproximáciu. To je preto, že np = 25 a n(1 - p) = 75. Pretože obidva tieto čísla sú vyššie ako 10, bude vhodné normálne rozdelenie robiť pomerne dobrú prácu pri odhadovaní binomických pravdepodobností.
Prečo používať aproximáciu?
Binomické pravdepodobnosti sa vypočítajú pomocou veľmi jednoduchého vzorca na nájdenie binomického koeficientu. Bohužiaľ, kvôli faktoriál vo vzorci môže byť veľmi ľahké naraziť na počítačové problémy s dvojslovný vzorec. Normálna aproximácia nám umožňuje obísť ktorýkoľvek z týchto problémov pomocou práce so známym priateľom, tabuľkou hodnôt štandardného normálneho rozdelenia.
Výpočet pravdepodobnosti sa často vyžaduje stanovenie pravdepodobnosti, že binomická náhodná premenná spadá do rozsahu hodnôt. Dôvodom je nájsť pravdepodobnosť, že binomická premenná X je väčšia ako 3 a menšia ako 10, budeme musieť nájsť pravdepodobnosť, že X sa rovná 4, 5, 6, 7, 8 a 9 a potom všetky tieto pravdepodobnosti sčítajú. Ak sa dá použiť normálna aproximácia, budeme musieť namiesto toho určiť z-skóre zodpovedajúce 3 a 10 a potom použiť tabuľku pravdepodobností pre z štandardné normálne rozdelenie.