Čo je distribúcia v Cauchy

Jedna distribúcia náhodnej premennej nie je dôležitá pre jej aplikácie, ale pre to, čo nám hovorí o našich definíciách. Distribúcia v Cauchy je jeden taký príklad, niekedy označovaný ako patologický príklad. Dôvodom je to, že hoci je toto rozdelenie dobre definované a má súvislosť s fyzikálnym javom, nemá rozdelenie stredné hodnoty alebo odchýlky. Táto náhodná premenná v skutočnosti nemá a funkcia generovania momentov.

Distribúciu Cauchy definujeme zvážením rozmetávača, ako je napríklad typ stolovej hry. Stred tohto rozvlákňovača bude ukotvený na y os v bode (0, 1). Po odstredení rozmetávača roztiahneme čiaru segmentu rozmetávača, až kým neprejde cez os x. Toto bude definované ako naša náhodná premenná X.

Necháme w označovať menší z dvoch uhlov, ktoré rozmetávač robí pomocou y Os. Predpokladáme, že tento rozmetávač bude rovnako pravdepodobne vytvárať akýkoľvek uhol ako druhý, a tak W má rovnomerné rozloženie, ktoré sa pohybuje od -π / 2 do π / 2.

Základná trigonometria nám poskytuje spojenie medzi našimi dvoma náhodnými premennými:

X = opálenieW.

Kumulatívna distribučná funkciaXje odvodený nasledovne:

H(X) = P(X < X) = P(opálenieW < X) = P(W < arctanX)

Potom použijeme skutočnosťW je jednotná, a to nám dáva:

H(X) = 0.5 + (arctanX)/π

Aby sme získali funkciu hustoty pravdepodobnosti, rozlišujeme funkciu kumulatívnej hustoty. Výsledkom je hod(x) = 1/[π (1 + X²) ]

Čo robí Cauchyovu distribúciu zaujímavou je to, že sme ju definovali pomocou fyzického systému a náhodný číselník, náhodná premenná s Cauchyovým rozdelením nemá priemer, rozptyl ani moment Funkcie. Všetky momenty o pôvode, ktoré sa používajú na definovanie týchto parametrov, neexistujú.

Začneme uvažovaním priemeru. Priemer je definovaný ako očakávaná hodnota našej náhodnej premennej, a teda E [X] = ∫_-∞^∞X /[π (1 + X²)] dX.

Integrujeme sa pomocou náhrada. Ak sa vydáme u = 1 +X² potom to vidíme du = 2X dX. Po vykonaní substitúcie sa výsledný nesprávny integrál nekonverguje. To znamená, že očakávaná hodnota neexistuje a priemer nie je definovaný.

Podobne funkcia rozptylu a momentu nie je definovaná.

Distribúcia v Cauchy je pomenovaná pre francúzskeho matematika Augustina-Louisa Cauchyho (1789 - 1857). Napriek tomu, že táto distribúcia bola pomenovaná pre Cauchy, informácie týkajúce sa distribúcie prvýkrát uverejnil jed.