Matematické vlastnosti vĺn

Fyzikálne vlny alebo mechanické vlny, tvoria sa prostredníctvom vibrácií média, či už ide o šnúru, zemskú kôru alebo častice plynov a tekutín. Vlny majú matematické vlastnosti, ktoré môžu byť analyzované, aby pochopili pohyb vlny. Tento článok zavádza skôr tieto všeobecné vlastnosti vĺn, než ako ich aplikovať v konkrétnych situáciách vo fyzike.

Existujú dva typy mechanických vĺn.

A je také, že posuny média sú kolmé (priečne) na smer pohybu vlny pozdĺž média. Vibrácia struny v periodickom pohybe, takže vlny sa pohybujú pozdĺž nej, je priečna vlna, rovnako ako vlny v oceáne.

pozdĺžna vlna je taká, že posuny média sú tam a späť v rovnakom smere ako samotná vlna. Príkladom pozdĺžnej vlny sú zvukové vlny, v ktorých sú častice vzduchu tlačené pozdĺž smeru jazdy.

Aj keď vlny diskutované v tomto článku sa budú týkať cestovania v médiu, tu uvedená matematika sa dá použiť na analýzu vlastností nemechanických vĺn. Napríklad elektromagnetické žiarenie je schopné cestovať prázdnym priestorom, má však stále rovnaké matematické vlastnosti ako iné vlny. Napríklad

1. Na vlny možno nazerať ako na narušenie média okolo rovnovážneho stavu, ktorý je zvyčajne v pokoji. Energia tohto rušenia je to, čo spôsobuje vlnový pohyb. Zásobník vody je v rovnováhe, keď nie sú žiadne vlny, ale akonáhle sa v ňom hodí kameň, rovnováha častíc je narušená a začne sa pohyb vlny.
2. - rušenie vlny putuje alebo propogates, s určitou rýchlosťou, nazývanou rýchlosť vlny (proti).
3. Vlny transportujú energiu, ale nezáleží. Samotné médium necestuje; jednotlivé častice sa pohybujú tam a späť alebo hore a dole okolo rovnovážnej polohy.

Na matematický opis vlnového pohybu sa odvolávame na pojem a vlnová funkcia, ktorý opisuje polohu častice v médiu kedykoľvek. Najzákladnejšou vlnovou funkciou je sínusová vlna alebo sínusová vlna, čo je a periodická vlna (t. j. vlna s opakovaným pohybom).

Je dôležité si uvedomiť, že vlnová funkcia nezobrazuje fyzickú vlnu, ale je to graf posunu okolo rovnovážnej polohy. Môže to byť mätúci koncept, ale užitočné je, že na zobrazenie väčšiny periodík môžeme použiť sínusovú vlnu pohyby, ako napríklad pohyb v kruhu alebo kyvné kyvadlo, ktoré pri pohľade na skutočný vzhľad nemusia vyzerať ako vlny motion.

• rýchlosť vlny (proti) - rýchlosť šírenia vlny
• amplitúda () - maximálna veľkosť posunu z rovnováhy v jednotkách SI metrov. Všeobecne je to vzdialenosť od rovnovážneho stredu vlny k jej maximálnemu posunu alebo je to polovica celkového posunu vlny.
• perióda (T) - je čas jedného cyklu vlny (dva impulzy alebo od hrebeňa po hrebeň alebo koryto), v jednotkách SI za sekundy (hoci sa to môže nazývať „sekundy na cyklus“).
• kmitočet (F) - počet cyklov za jednotku času. Jednotka frekvencie SI je hertz (Hz) a

  1 Hz = 1 cyklus / s = 1 s^-1

• uhlová frekvencia (ω) - je 2π násobok frekvencie v jednotkách SI radiánov za sekundu.
• vlnová dĺžka (λ) - vzdialenosť medzi akýmikoľvek dvoma bodmi na zodpovedajúcich pozíciách pri opakovaných opakovaniach vo vlne, napríklad (napríklad) od jedného hrebeňa alebo koryta k ďalšiemu v SI jednotky metrov.
• vlnové číslo (k) - tiež nazývané propagačná konštanta, toto užitočné množstvo je definované ako 2 π delené vlnovou dĺžkou, takže jednotky SI sú radiány na meter.
• pulz - jedna polovica vlnovej dĺžky od zadnej rovnováhy

Niektoré užitočné rovnice pri definovaní vyššie uvedených množstiev sú:

proti = λ / T = f f

ω = 2 π f = 2 π/T

T = 1 / F = 2 π/ω

k = 2π/ω

ω = vk

Vertikálna poloha bodu na vlne, y, možno nájsť ako funkciu horizontálnej polohy, Xa čas, T, keď sa na to pozrieme. Ďakujeme láskavým matematikom za to, že pre nás túto prácu vykonali, a získame nasledujúce užitočné rovnice na opísanie vlnového pohybu:

y(x, t) = hriech ω(T - X/proti) = hriech 2π f(T - X/proti)

y(x, t) = hriech 2π(T/T - X/proti)

y (x, t) = hriech (ω t - kx)

Posledným rysom vlnovej funkcie je použitie počet vziať druhý derivát poskytuje vlnová rovnica, čo je zaujímavý a niekedy užitočný produkt (ktorý ešte raz ďakujeme matematikom za prijatie a prijatie bez toho, aby sme to dokázali):

d²y / dx² = (1 / proti²) d²y / dt²

Druhý derivát y pokiaľ ide o X je ekvivalent k druhému derivátu y pokiaľ ide o T vydelené druhou mocninou rýchlosti vlny. Kľúčovou užitočnosťou tejto rovnice je to kedykoľvek to nastane, vieme, že funkcia y pôsobí ako vlna s vlnovou rýchlosťou proti a preto, situáciu je možné opísať pomocou vlnovej funkcie.