Jedným z populárnych spôsobov, ako študovať pravdepodobnosť, je hodiť kockami. Štandardná matrica má šesť strán vytlačených malými bodkami číslovanými 1, 2, 3, 4, 5 a 6. Ak je matrica spravodlivá (a my to urobíme predpokladať že všetky sú), potom je každý z týchto výsledkov rovnako pravdepodobný. Pretože existuje šesť možných výsledkov, pravdepodobnosť získania ktorejkoľvek strany formy je 1/6. Pravdepodobnosť valenia a 1 je 1/6, pravdepodobnosť valenia a je 1/6 atď. Čo sa však stane, keď pridáme ďalšiu zomrieť? Aká je pravdepodobnosť hádzania dvoma kockami?
Pravdepodobnosť hodenia kockami
Aby sme správne určili pravdepodobnosť hodenia kockami, musíme poznať dve veci:
- Veľkosť vzorový priestor alebo súbor celkových možných výsledkov
- Ako často sa udalosť vyskytuje
v pravdepodobnosť, udalosť je určitá podmnožina vzorového priestoru. Napríklad, keď sa valí iba jedna matrica, ako v príklade vyššie, priestor vzorky sa rovná všetkým hodnotám na matrici alebo súprave (1, 2, 3, 4, 5, 6). Pretože matrica je spravodlivá, každé číslo v sade sa vyskytuje iba raz. Inými slovami, frekvencia každého čísla je 1. Aby sme určili pravdepodobnosť hodenia ktoréhokoľvek z čísiel na matrici, delíme frekvenciu udalostí (1) veľkosťou priestoru vzorky (6), čo vedie k pravdepodobnosti 1/6.
Hádzanie dvoch spravodlivých kockami viac ako zdvojnásobuje náročnosť výpočtu pravdepodobnosti. Je to preto, že odvaľovanie jednej formy je nezávislé od odvaľovania druhej formy. Jeden kotúč nemá žiadny účinok na druhý. Pri riešení nezávislých udalostí používame pravidlo množenia. Použitie stromovej schémy ukazuje, že existuje 6 x 6 = 36 možných výsledkov z vyhodenia dvoch kociek.
Predpokladajme, že prvá matrica, ktorú hodíme, sa objaví ako 1. Druhý valec formy môže byť 1, 2, 3, 4, 5 alebo 6. Teraz predpokladajme, že prvá matrica je 2. Ďalším raziacim valcom môže byť 1, 2, 3, 4, 5 alebo 6. Našli sme už 12 potenciálnych výsledkov a ešte sme nevyčerpali všetky možnosti prvej zomrieť.
Tabuľka pravdepodobnosti hodenia dvoma kockami
Možné výsledky hodenia dvoma kockami sú uvedené v nasledujúcej tabuľke. Upozorňujeme, že počet celkových možných výsledkov sa rovná vzorkovaciemu priestoru prvej matrice (6). vynásobený priestorom vzorky druhej matrice (6), ktorý je 36 mm.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | (1, 1) | (1, 2) | (1, 3) | (1, 4) | (1, 5) | (1, 6) |
| 2 | (2, 1) | (2, 2) | (2, 3) | (2, 4) | (2, 5) | (2, 6) |
| 3 | (3, 1) | (3, 2) | (3, 3) | (3, 4) | (3, 5) | (3, 6) |
| 4 | (4, 1) | (4, 2) | (4, 3) | (4, 4) | (4, 5) | (4, 6) |
| 5 | (5, 1) | (5, 2) | (5, 3) | (5, 4) | (5, 5) | (5, 6) |
| 6 | (6, 1) | (6, 2) | (6, 3) | (6, 4) | (6, 5) | (6, 6) |
Tri alebo viac kociek
Rovnaký princíp platí, ak pracujeme problémy týkajúce sa troch kociek. Násobíme a vidíme, že existuje 6 x 6 x 6 = 216 možných výsledkov. Keď bude písanie opakovaného násobenia ťažkopádne, môžeme na zjednodušenie práce použiť exponenty. Pre dve kocky je 62 možné výsledky. Pre tri kocky je 63 možné výsledky. Všeobecne platí, že ak hodíme n kocky, potom ich je celkom 6n možné výsledky.
Vzorové problémy
Na základe týchto znalostí dokážeme vyriešiť všetky možné problémy:
1. Rozvinú sa dve šesťhranné kocky. Aká je pravdepodobnosť, že súčet týchto dvoch kociek je sedem?
Najjednoduchší spôsob, ako vyriešiť tento problém, je nahliadnuť do tabuľky vyššie. Všimnite si, že v každom riadku je jedna kocka, kde súčet obidvoch kociek je rovný siedmim. Pretože existuje šesť riadkov, existuje šesť možných výsledkov, keď súčet dvoch kociek sa rovná siedmim. Celkový počet možných výsledkov zostáva 36. Opäť zistíme pravdepodobnosť vydelením frekvencie udalostí (6) veľkosťou priestoru vzorky (36), čo vedie k pravdepodobnosti 1/6.
2. Rozvinú sa dve šesťhranné kocky. Aká je pravdepodobnosť, že suma z dvoch kociek sú tri?
V predchádzajúcom probléme ste si možno všimli, že bunky, ktorých súčet dvoch kociek je rovný siedmim, tvoria diagonálnu. To isté platí aj v tomto prípade, iba v tomto prípade existujú iba dve bunky, kde súčet kociek je tri. Je to preto, že existujú iba dva spôsoby, ako dosiahnuť tento výsledok. Musíte hodiť 1 a 2 alebo musíte hodiť 2 a a 1. Kombinácie pre súčet siedmich sú omnoho väčšie (1 a 6, 2 a 5, 3 a 4 atď.). Aby sme našli pravdepodobnosť, že súčet týchto dvoch kociek je tri, môžeme deliť frekvenciu udalostí (2) veľkosťou priestoru vzorky (36), čo vedie k pravdepodobnosti 1/18.
3. Rozvinú sa dve šesťhranné kocky. Aká je pravdepodobnosť, že čísla na kockách sú iné?
Tento problém môžeme opäť ľahko vyriešiť nahliadnutím do tabuľky vyššie. Všimnite si, že bunky, kde sú čísla na kockách rovnaké, sú diagonálne. Je ich iba šesť a keď ich vyškrtneme, máme zvyšné bunky, v ktorých sú čísla na kockách odlišné. Môžeme zobrať počet kombinácií (30) a vydeliť ich veľkosťou priestoru na vzorky (36), čo vedie k pravdepodobnosti 5/6.