Bežné príklady nespočetných množín

Nie všetky nekonečné množiny sú rovnaké. Jedným zo spôsobov, ako rozlíšiť tieto množiny, je otázka, či je množina spočítateľná nekonečný alebo nie. Týmto spôsobom hovoríme, že nekonečné množiny sú buď nespočetné, alebo nespočetné. Zvážime niekoľko príkladov nekonečných množín a určíme, ktoré z nich sú nespočetné.

Začneme vylúčením niekoľkých príkladov nekonečných množín. Mnohé z nekonečných množín, o ktorých by sme si okamžite mysleli, sa považujú za nespočetne nekonečné. To znamená, že ich možno dať do vzájomnej korešpondencie s prirodzenými číslami.

Prirodzené čísla, celé čísla a racionálne čísla sú nespočetne nekonečné. Je tiež možné počítať akékoľvek spojenie alebo priesečník nespočetne nekonečných množín. Kartézsky výrobok ľubovoľného počtu spočítateľných množín je spočítateľný. Počítateľná je aj každá podmnožina spočítateľnej množiny.

Najbežnejším spôsobom zavedenia nespočetných množín je uvažovanie intervalu (0, 1) skutočné čísla. Z tohto faktu a funkcie jeden na jedného

Celý súbor reálnych čísel je tiež nespočetný. Jedným zo spôsobov, ako to ukázať, je použitie tangenciálnej funkcie jedna ku druhej F ( X ) = tan X. Doménou tejto funkcie je interval (-π / 2, π / 2), nespočetná množina a rozsah je množina všetkých reálnych čísel.

Operácie teórie základných množín môžu byť použité na vytvorenie ďalších príkladov nespočetne nekonečných množín:

• ak je podskupina B a je nespočetný, tak aj je B. To poskytuje jednoduchší dôkaz o tom, že celá množina reálnych čísel je nespočetná.
• ak je nespočetný a B je akýkoľvek súbor, potom únia U B je tiež nespočetný.
• ak je nespočetný a B je ľubovoľná súprava, potom karteziánsky produkt X B je tiež nespočetný.
• ak je nekonečný (dokonca nespočetne nekonečný), potom sada energie z je nespočetný.

Dva ďalšie príklady, ktoré spolu súvisia, sú trochu prekvapujúce. Nie každá podmnožina reálnych čísel je nespočetne nekonečná (v skutočnosti racionálne čísla tvoria početnú podmnožinu skutočností, ktorá je tiež hustá). Niektoré podmnožiny sú nespočetne nekonečné.

Jedna z týchto nespočetne nekonečných podmnožín zahŕňa určité typy desatinných rozšírení. Ak vyberieme dve číslice a vytvoríme každú možnú desatinnú expanziu iba s týmito dvoma číslicami, potom je výsledná nekonečná množina nezapočítateľná.

Konštrukcia inej súpravy je zložitejšia a je tiež nespočetná. Začnite s uzavretým intervalom [0,1]. Odstráňte strednú tretinu tejto sady, čoho výsledkom bude [0, 1/3] U [2/3, 1]. Teraz odstráňte strednú tretinu každého zo zostávajúcich kusov súpravy. Takže (1/9, 2/9) a (7/9, 8/9) sa odstráni. Týmto spôsobom pokračujeme. Sada bodov, ktoré zostanú po odstránení všetkých týchto intervalov, nie je intervalom, je však neskutočne nekonečná. Táto sada sa nazýva Cantor Set.

Existuje nekonečne veľa nespočetných množín, ale vyššie uvedené príklady sú niektoré z najčastejšie sa vyskytujúcich množín.