Jednou z prirodzených otázok o distribúcii pravdepodobnosti je: „Čo je jej centrom?“ Očakávaná hodnota je jedno také meranie stredu rozdelenia pravdepodobnosti. Pretože meria strednú hodnotu, nemalo by byť žiadnym prekvapením, že tento vzorec je odvodený od priemeru.
Na stanovenie východiskového bodu musíme odpovedať na otázku „Aká je očakávaná hodnota?“ Predpokladajme, že máme náhodnú premennú spojenú s pravdepodobnostným experimentom. Povedzme, že tento experiment opakujeme znova a znova. Z dlhodobého hľadiska niekoľkých opakovaní toho istého pravdepodobnostného experimentu, ak sme spriemerovali všetky naše hodnoty náhodná premenná, dostali by sme očakávanú hodnotu.
V nasledujúcom texte uvidíme, ako použiť vzorec pre očakávanú hodnotu. Pozrime sa na diskrétne aj spojité nastavenia a uvidíme podobnosti a rozdiely vo vzorcoch.
Vzorec pre diskrétnu náhodnú premennú
Začneme analýzou diskrétneho prípadu. Zadaná diskrétna náhodná premenná X, predpokladajme, že má hodnoty X1, X2, X3,... Xna príslušné pravdepodobnosti
p1, p2, p3,... pn. Hovorí sa, že pravdepodobnostná hmotnostná funkcia poskytuje túto náhodnú premennú F(Xja) = pja.Očakávaná hodnota X je daná vzorcom:
E (X) = X1p1 + X2p2 + X3p3 +... + Xnpn.
Použitie funkcie pravdepodobnostnej hmotnosti a notácie súčtu nám umožňuje kompaktnejšie napísať tento vzorec nasledujúcim spôsobom, pričom sumácia sa prevezme nad index ja:
E (X) = Σ XjaF(Xja).
Túto verziu vzorca je užitočné vidieť, pretože to funguje, aj keď máme nekonečný priestor na vzorky. Tento vzorec sa dá tiež ľahko upraviť pre nepretržitý prípad.
Príklad
Prehodiť mincu trikrát a nechať X je počet hláv. Náhodná premenná X je diskrétny a konečný. Jediné možné hodnoty, ktoré môžeme mať, sú 0, 1, 2 a 3. Toto má rozdelenie pravdepodobnosti 1/8 pre X = 0, 3/8 pre X = 1, 3/8 pre X = 2, 1/8 pre X = 3. Použite vzorec očakávanej hodnoty na získanie:
(1/8)0 + (3/8)1 + (3/8)2 + (1/8)3 = 12/8 = 1.5
V tomto príklade vidíme, že z dlhodobého hľadiska budeme z tohto experimentu priemerovať celkom 1,5 hlavy. To dáva zmysel našej intuícii, pretože polovica z 3 je 1,5.
Vzorec pre spojitú náhodnú premennú
Teraz sa obrátime na súvislú náhodnú premennú, ktorú označíme X. Necháme funkciu hustoty pravdepodobnosti X byť daný funkciou F(X).
Očakávaná hodnota X je daná vzorcom:
E (X) = ∫ x f(X) dX.
Tu vidíme, že očakávaná hodnota našej náhodnej premennej je vyjadrená ako integrál.
Aplikácie očakávanej hodnoty
Je ich veľa aplikácie pre očakávanú hodnotu náhodnej premennej. Tento vzorec robí zaujímavý vzhľad v Petrohradský paradox.