Aká je očakávaná hodnota v pravdepodobnosti?

Ste na karnevale a vidíte hru. Za 2 doláre hodíte štandardnú šesťstrannú matricu. Ak je zobrazené číslo šesť, vyhráte 10 dolárov, inak nič nevyhráte. Ak sa snažíte zarobiť peniaze, je vo vašom záujme hrať hru? Na zodpovedanie otázky, ako je táto, potrebujeme koncept očakávanej hodnoty.

Očakávaná hodnota sa dá skutočne považovať za priemer náhodnej premennej. To znamená, že ak ste opakovane vykonávali experiment pravdepodobnosti, pričom sa sledujú výsledky, očakávaná hodnota je priemerný všetkých získaných hodnôt. Očakávaná hodnota je to, čo by ste mali očakávať v dlhodobom horizonte mnohých pokusov o hazardné hry.

Vyššie uvedená karnevalová hra je príkladom diskrétnej náhodnej premennej. Premenná nie je nepretržitá a každý výsledok k nám prichádza v počte, ktorý je možné oddeliť od ostatných. Nájsť očakávanú hodnotu hry, ktorá má výsledky X₁, X₂,..., X_n s pravdepodobnosťou p₁, p₂,... , p_n, vypočítať:

X₁p₁ + X₂p₂ +... + X_np_n.

Vo vyššie uvedenej hre máte pravdepodobnosť, že nič nevyhráte. Hodnota tohto výsledku je -2, pretože ste strávili 2 doláre za hranie hry. Šesťka má pravdepodobnosť 1/6 a táto hodnota má výsledok 8. Prečo 8 a nie 10? Znovu musíme účtovať za $ 2, ktoré sme zaplatili za hru, a 10 - 2 = 8.

Teraz zapojte tieto hodnoty a pravdepodobnosti do očakávaných vzorec hodnoty a skončí s: -2 (5/6) + 8 (1/6) = -1/3. To znamená, že z dlhodobého hľadiska by ste mali pri každej hre očakávať stratu v priemere asi 33 centov. Áno, niekedy vyhráte. Ale stratíte častejšie.

Teraz predpokladajme, že karnevalová hra bola mierne upravená. Za rovnaký vstupný poplatok 2 $, ak je zobrazené číslo šesť, vyhráte 12 dolárov, inak nič nevyhráte. Očakávaná hodnota tejto hry je -2 (5/6) + 10 (1/6) = 0. Z dlhodobého hľadiska nestratíte žiadne peniaze, ale nezískate žiadne. Neočakávajte, že na miestnom karnevale uvidíte hru s týmito číslami. Ak z dlhodobého hľadiska nestratíte žiadne peniaze, potom karneval nezíska žiadne.

Teraz sa obráťte na kasíno. Rovnakým spôsobom ako predtým môžeme vypočítať očakávanú hodnotu hazardných hier, ako je ruleta. V USA má ruletové koleso 38 očíslovaných slotov od 1 do 36, 0 a 00. Polovica z 1-36 je červená, polovica z nich čierna. 0 aj 00 sú zelené. Lopta náhodne pristane v jednom zo slotov a stávky sa umiestnia na miesto, kde lopta dopadne.

Jednou z najjednoduchších stávok je stávka na červenú. Ak vsadíte 1 $ a lopta dopadne na červené číslo volante, vyhráte 2 $. Ak lopta dopadne na čierny alebo zelený priestor vo vozidle, nič nevyhráte. Aká je očakávaná hodnota takejto stávky? Pretože existuje 18 červených medzier, existuje pravdepodobnosť výhry 18/38, s čistým ziskom 1 $. Existuje 20/38 pravdepodobnosť straty pôvodnej stávky 1 $. Očakávaná hodnota tejto stávky v ruleta je 1 (18/38) + (-1) (20/38) = -2/38, čo je asi 5,3 centa. Dom má nepatrnú výhodu (ako pri všetkých kasínových hrách).

Ako ďalší príklad uvážte a lotérie. Hoci milióny možno vyhrať za cenu 1 $, očakávaná hodnota lotériovej hry ukazuje, ako nespravodlivo je skonštruovaná. Predpokladajme, že za $ 1 si vyberiete šesť čísel od 1 do 48. Pravdepodobnosť správneho výberu všetkých šiestich čísel je 1/122771,512. Ak vyhráte 1 milión dolárov za správne nastavenie všetkých šiestich, aká je očakávaná hodnota tejto lotérie? Možné hodnoty sú - 1 dolár za prehru a 999,999 dolárov za výhru (opäť musíme brať do úvahy náklady na hranie a odpočítať ich od výhier). To nám dáva očakávanú hodnotu:

(-1)(12,271,511/12,271,512) + (999,999)(1/12,271,512) = -.918

Takže ak by ste chceli hrať lotériu znova a znova, stratíte z dlhodobého hľadiska asi 92 centov - takmer celú cenu vstupenky - zakaždým, keď hráte.

Všetky vyššie uvedené príklady sa zameriavajú na diskrétne náhodná premenná. Je však možné definovať aj očakávanú hodnotu pre spojitú náhodnú premennú. V tomto prípade musíme urobiť len to, že zhrnutie v našom vzorci nahradíme integrálom.

Je dôležité si uvedomiť, že očakávaná hodnota je priemerom po mnohých pokusoch s a náhodný proces. Z krátkodobého hľadiska sa priemer náhodnej premennej môže výrazne líšiť od očakávanej hodnoty.