Aký je rozdiel dvoch množín v teórii množín?

Rozdiel dvoch súprav, písomných - B je súbor všetkých prvkov ktoré nie sú prvkami B. Operácia rozdielov, spolu so spojením a priesečníkom, je dôležitá a operácia základnej teórie množín.

Odčítanie jedného čísla od druhého sa dá myslieť mnohými rôznymi spôsobmi. Jeden model, ktorý má pomôcť pochopiť tento pojem, sa nazýva model so sebou odčítanie. V tomto by bol problém 5 - 2 = 3 demonštrovaný začatím s piatimi objektmi, odstránením dvoch z nich a počítaním, že zostali tri. Podobným spôsobom, ako zistíme rozdiel medzi dvoma číslami, nájdeme rozdiel medzi dvoma množinami.

Pozrime sa na príklad stanoveného rozdielu. Ak chcete vidieť, aký je rozdiel dvoch súpravy tvorí novú súpravu, zvážme súpravy = {1, 2, 3, 4, 5} a B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Ak chcete nájsť rozdiel - B z týchto dvoch sád, začneme písaním všetkých prvkov a potom odstráňte všetky prvky to je tiež prvok B. od tej doby zdieľa prvky 3, 4 a 5 s B, to nám dáva rozhodujúci rozdiel - B = {1, 2}.

Rovnako ako rozdiely 4 - 7 a 7 - 4 nám dávajú odlišné odpovede, musíme si dať pozor na poradie, v akom vypočítavame stanovený rozdiel. Pre použitie technického výrazu z matematiky by sme povedali, že nastavená operácia rozdielu nie je komutatívna. To znamená, že vo všeobecnosti nemôžeme zmeniť poradie rozdielu dvoch sád a očakávať rovnaký výsledok. Môžeme presnejšie uviesť, že pre všetky súbory a B, - B sa nerovná B - .

Ak to chcete vidieť, vráťte sa k vyššie uvedenému príkladu. Vypočítali sme to pre sady = {1, 2, 3, 4, 5} a B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, rozdiel - B = {1, 2 }. Na porovnanie s B - A, začneme s prvkami B, ktoré sú 3, 4, 5, 6, 7, 8, a potom odstráňte 3, 4 a 5, pretože sú spoločné s . Výsledkom je B - = {6, 7, 8 }. Tento príklad nám to jasne ukazuje A - B sa nerovná B - A.

Jeden druh rozdielu je natoľko dôležitý, aby si zaručoval svoje vlastné špeciálne meno a symbol. Toto sa nazýva doplnok a používa sa na nastavenie rozdielu, keď prvý set je univerzálny set. Doplnok je daný výrazom U - . Vzťahuje sa to na množinu všetkých prvkov v univerzálnej množine, ktoré nie sú prvkami . Pretože sa rozumie, že sada prvkov že z čoho vyberieme, sú prevzaté z univerzálnej sady, môžeme jednoducho povedať, že doplnok je množina pozostávajúca z prvkov, ktoré nie sú prvkami .

Doplnok množiny je relatívny k univerzálnej množine, s ktorou pracujeme. s = {1, 2, 3} a U = {1, 2, 3, 4, 5}, doplnok je {4, 5}. Ak je náš univerzálny set iný, povedzme U = {-3, -2, 0, 1, 2, 3}, potom doplnok {-3, -2, -1, 0}. Vždy dbajte na to, čo sa univerzálna súprava používa.

Slovo „doplnok“ sa začína písmenom C, a preto sa v zápise používa. Doplnok sady je napísané ako ^C. Definíciu doplnku môžeme vyjadriť v symboloch ako: ^C = U - .

Ďalším spôsobom, ktorý sa bežne používa na označenie doplnku súboru, je apostrof, ktorý sa píše ako '.

Existuje mnoho stanovených identít, ktoré zahŕňajú použitie rozdielov a doplnkových operácií. Niektoré identity kombinujú ďalšie operácie ako napr križovatka a zväz. Niektoré z najdôležitejších sú uvedené nižšie. Pre všetky sady a B a D máme:

• - =∅
• - ∅ =
• ∅ - = ∅
• - U = ∅
• (^C)^C =
• DeMorganov zákon I: ( ∩ B)^C = ^C ∪ B^C
• DeMorgan's Law II: ( ∪ B)^C = ^C ∩ B^C