Čo je negatívna binomická distribúcia?

Záporné binomické rozdelenie je a rozdelenia pravdepodobnosti ktorý sa používa s diskrétnymi náhodnými premennými. Tento druh distribúcie sa týka počtu pokusov, ktoré sa musia uskutočniť, aby sa dosiahol vopred stanovený počet úspechov. Ako uvidíme, záporné binomické rozdelenie súvisí s binomické rozdelenie. Toto rozdelenie navyše zovšeobecňuje geometrické rozdelenie.

Začneme tým, že sa pozrieme na nastavenie a podmienky, ktoré vedú k negatívnemu binomickému rozdeleniu. Mnohé z týchto podmienok sú veľmi podobné binomickému prostrediu.

1. Máme Bernoulliho experiment. To znamená, že každá skúška, ktorú vykonávame, má dobre definovaný úspech a neúspech a sú to jediné výsledky.
2. Pravdepodobnosť úspechu je konštantná bez ohľadu na to, koľkokrát vykonávame experiment. Túto konštantnú pravdepodobnosť označujeme a p.
3. Experiment sa opakuje X nezávislé štúdie, čo znamená, že výsledok jedného pokusu nemá žiadny vplyv na výsledok následného pokusu.

Tieto tri podmienky sú rovnaké ako podmienky v binomickom rozdelení. Rozdiel je v tom, že binomická náhodná premenná má pevný počet pokusov

Počet pokusov sa týka negatívneho binomického rozdelenia X k tomu musí dôjsť, kým nebudeme mať r úspechov. Číslo r je celé číslo, ktoré vyberieme skôr, ako začneme vykonávať naše skúšky. Náhodná premenná X je stále diskrétny. Teraz však môže náhodná premenná prevziať hodnoty X = r, r + 1, r + 2,... Táto náhodná premenná je nespočetne nekonečná, pretože môže trvať ľubovoľne dlho, kým ju získame r úspechov.

Aby ste pomohli zmysel negatívneho binomického rozdelenia, je vhodné zvážiť príklad. Predpokladajme, že hodíme férovú mincu a položíme otázku: „Aká je pravdepodobnosť, že dostaneme tri hlavy do prvej X Mince vyletí? “Toto je situácia, ktorá si vyžaduje záporné binomické rozdelenie.

Mince vyletí, majú dva možné výsledky, pravdepodobnosť úspechu je konštantná 1/2 a skúšky sú navzájom nezávislé. Žiadame o pravdepodobnosť získania prvých troch hláv potom X mince sa vyletí. Preto musíme mincu vyhodiť najmenej trikrát. Potom budeme naďalej listovať, kým sa neobjaví tretia hlava.

Na výpočet pravdepodobností súvisiacich s negatívnym binomickým rozdelením potrebujeme ďalšie informácie. Potrebujeme poznať funkciu pravdepodobnosti hmoty.

Funkciu pravdepodobnostnej hmotnosti pre záporné binomické rozdelenie možno vyvinúť s trochou premýšľania. Každá skúška má pravdepodobnosť úspechu p. Pretože existujú iba dva možné výsledky, znamená to, že pravdepodobnosť zlyhania je konštantná (1 - p ).

rTento úspech sa musí dosiahnuť na internete Xa záverečná skúška. Predchádzajúci X - 1 pokusy musia obsahovať presne r - 1 úspechov. Počet spôsobov, ako k tomu môže dôjsť, je daný počtom kombinácií:

C (X - 1, r -1) = (x - 1)! / [(R - 1)! (x - r)!].

Okrem toho máme nezávislé udalosti, a tak môžeme znásobiť naše pravdepodobnosti spoločne. Keď to všetko zhrnieme, získame funkciu pravdepodobnostnej hmotnosti

F(X) = C (X - 1, r -1) p^r(1 - p)^{X - r}.

Teraz sme schopní pochopiť, prečo má táto náhodná premenná záporné binomické rozdelenie. Počet kombinácií, s ktorými sme sa stretli vyššie, je možné písať odlišne nastavením x - r = k:

(x - 1)! / [(r - 1)! (x - r)!] = (x + k - 1)! / [(R - 1)! k!] = (r + k - 1)(x + k - 2)... (r + 1) (r) /k! = (-1)^k(-r) (- r - 1).. (- r - (k + 1) / k !.

Tu vidíme výskyt záporného binomického koeficientu, ktorý sa používa, keď zvýšime binomický výraz (a + b) na zápornú moc.

Priemer distribúcie je dôležité vedieť, pretože je to jeden zo spôsobov, ako označiť stred distribúcie. Priemer tohto typu náhodnej premennej je daný jeho očakávanou hodnotou a je rovný r / p. Môžeme to dokázať opatrne pomocou funkcia generovania momentov pre túto distribúciu.

Intuícia nás tiež vedie k tomuto výrazu. Predpokladajme, že vykonáme sériu pokusov n₁ kým nedosiahneme r úspechov. A potom to urobíme znova, iba tentokrát n₂ štúdií. Pokračujeme to znova a znova, až kým nebudeme mať veľký počet skupín pokusov N = n₁ + n₂ +... +n_k.

Každý z nich k skúšky obsahujú r úspechy, a tak máme celkom kr úspechov. ak N je veľký, potom by sme očakávali, že uvidíme np úspechov. Preto ich porovnávame a máme kr = Np.

Urobíme nejaké algebry a zistíme, že N / k = r / p. Zlomok na ľavej strane tejto rovnice predstavuje priemerný počet pokusov potrebných pre každú z našich rovníc k skupiny pokusov. Inými slovami, toto je očakávaný počet opakovaní experimentu, takže máme celkom r úspechov. To je presne to, čo chceme nájsť. Vidíme, že sa to rovná vzorcu r / s.

Rozptyl záporného binomického rozdelenia sa môže tiež vypočítať pomocou funkcie generovania momentu. Keď to urobíme, vidíme, že rozptyl tohto rozdelenia je daný nasledujúcim vzorcom:

r (1 - p)/p²

Funkcia generovania momentov pre tento typ náhodných premenných je dosť komplikovaná. Pripomeňme, že funkcia generovania momentu je definovaná ako očakávaná hodnota E [napr^tX]. Použitím tejto definície s našou funkciou hromadnej pravdepodobnosti máme:

M (t) = E [e^tX] = Σ (x - 1)! / [(R - 1)! (x - r)!] E^tXp^r(1 - p)^{X - r}

Po nejakej algebre sa to stane M (t) = (pe^T)^r[1- (1- p) e^T]^-r

Vyššie sme videli, ako je negatívne binomické rozdelenie v mnohých ohľadoch podobné binomickému rozdeleniu. Okrem tohto spojenia je záporné binomické rozdelenie všeobecnejšou verziou geometrického rozdelenia.

Geometrická náhodná premenná X počíta počet pokusov potrebných pred prvým úspechom. Je ľahké vidieť, že toto je presne negatívne binomické rozdelenie, ale s r rovná jednej.

Existujú aj iné formulácie negatívnej binomickej distribúcie. Niektoré učebnice definujú X počet pokusov do roku 2007 r vyskytujú sa poruchy.

Pozrime sa na príklad problému, aby sme videli, ako pracovať s negatívnym binomickým rozdelením. Predpokladajme, že basketbalista je 80% strelec s hádzaním zadarmo. Ďalej predpokladajme, že uskutočnenie jedného trestného hodu je nezávislé od ďalšieho postupu. Aká je pravdepodobnosť, že pre tohto hráča bude ôsmy kôš vyrobený na desiaty voľný hod?

Vidíme, že máme predpoklady na záporné binomické rozdelenie. Konštantná pravdepodobnosť úspechu je 0,8, takže pravdepodobnosť zlyhania je 0,2. Chceme určiť pravdepodobnosť X = 10, keď r = 8.

Tieto hodnoty vkladáme do našej funkcie pravdepodobnosti hmotnosti:

f (10) = C (10-1, 8 - 1) (0,8)⁸(0.2)²= 36(0.8)⁸(0.2)², čo je približne 24%.

Potom by sme sa mohli opýtať, aký je priemerný počet trestných hodov vystrelených skôr, ako tento hráč z nich osem. Pretože očakávaná hodnota je 8 / 0,8 = 10, jedná sa o počet záberov.