Dôležitou súčasťou inferenčných štatistík je testovanie hypotéz. Rovnako ako pri učení sa všetkého, čo súvisí s matematikou, je užitočné pracovať na niekoľkých príkladoch. Nasledujúci text skúma príklad testu hypotéz a vypočíta pravdepodobnosť chyby typu I a II.
Budeme predpokladať, že platí jednoduché podmienky. Konkrétnejšie predpokladáme, že máme jednoduchá náhodná vzorka z populácie, ktorá je buď bežne distribuované alebo má dostatočne veľkú veľkosť vzorky, ktorú môžeme použiť centrálna limitná veta. Budeme tiež predpokladať, že poznáme štandardnú odchýlku populácie.
Vyhlásenie o probléme
Vrecko zo zemiakových lupienkov je balené podľa hmotnosti. Celkovo sa nakúpilo, odvážilo a odvážilo deväť vriec a priemerná hmotnosť týchto deviatich vriec je 10,5 unca. Predpokladajme, že štandardná odchýlka populácie všetkých takýchto vreciek čipov je 0,6 unca. Uvedená hmotnosť na všetkých obaloch je 11 uncí. Nastavte hladinu významnosti na 0,01.
Otázka 1
Podporuje vzorka hypotézu, že skutočná populácia znamená, že je menšia ako 11 uncí?
Máme dolná časť chvosta. Vidíme to vo vyhlásení nášho nulové a alternatívne hypotézy:
- H0: μ=11.
- H: μ < 11.
Štatistika testu sa vypočíta podľa vzorca
z = (X-bar - μ0)/(σ/√n) = (10.5 - 11)/(0.6/√ 9) = -0.5/0.2 = -2.5.
Teraz musíme určiť, aká pravdepodobná je táto hodnota z je len náhodou. Použitím tabuľky z- vidíme, že je to pravdepodobnosť z je menší alebo rovný -2,5 je 0,0062. Pretože táto p-hodnota je menšia ako úroveň významnosti, odmietame nulovú hypotézu a akceptujeme alternatívnu hypotézu. Priemerná hmotnosť všetkých vreciek čipov je menšia ako 11 uncí.
Otázka 2
Aká je pravdepodobnosť chyby typu I?
Chyba typu I sa vyskytne, keď odmietneme neplatnú hypotézu, ktorá je pravdivá. Pravdepodobnosť takejto chyby sa rovná úrovni významnosti. V tomto prípade máme hladinu významnosti rovnú 0,01, čo je pravdepodobnosť chyby typu I.
Otázka 3
Ak je priemerný počet obyvateľov skutočne 10,75 uncí, aká je pravdepodobnosť chyby typu II?
Začneme preformulovaním nášho rozhodovacieho pravidla z hľadiska priemeru vzorky. Pri hladine významnosti 0,01 odmietame nulovú hypotézu, keď z < -2.33. Vložením tejto hodnoty do vzorca pre štatistiku testu odmietneme nulovú hypotézu, keď
(X-bar-11) / (0,6 / ~ 9)
Rovnocenne odmietame nulovú hypotézu, keď 11 - 2,33 (0,2)> X-bar, alebo kedy X-bar je menšia ako 10,534. Nezamietame nulovú hypotézu X-bar väčší alebo rovný 10,534. Ak je skutočná priemerná hodnota populácie 10,75, potom pravdepodobnosť X-bar je rovná alebo väčšia ako 10,534, čo sa rovná pravdepodobnosti z je väčšia alebo rovná -0,22. Táto pravdepodobnosť, ktorá je pravdepodobnosťou chyby typu II, sa rovná 0,587.