Koncept očakávaná hodnota môže byť použitý na analýzu kasínovej hry rulety. Túto myšlienku môžeme použiť z pravdepodobnosti na určenie toho, koľko peňazí z dlhodobého hľadiska stratíme hraním rulety.
Pozadie
Ruletové koleso v USA obsahuje 38 rovnako veľkých priestorov. Koleso sa točí a guľa náhodne pristane v jednom z týchto priestorov. Dve medzery sú zelené a majú na nich čísla 0 a 00. Ostatné medzery sú očíslované od 1 do 36. Polovica z týchto zvyšných priestorov je červená a polovica z nich čierna. Na stenu, kde lopta skončí pristátie, je možné urobiť rôzne stávky. Bežnou stávkou je zvoliť si farbu, napríklad červenú, a staviť, že lopta dopadne na ktorýkoľvek z 18 červených políčok.
Pravdepodobnosť rulety
Pretože priestory majú rovnakú veľkosť, je pravdepodobné, že guľa dopadne v ktoromkoľvek priestore. To znamená, že ruleta obsahuje uniformu rozdelenia pravdepodobnosti. Pravdepodobnosť, že budeme musieť vypočítať našu očakávanú hodnotu, je nasledovná:
- K dispozícii je celkom 38 medzier, takže pravdepodobnosť, že lopta dopadne na jeden konkrétny priestor, je 1/38.
- Existuje 18 červených medzier, takže pravdepodobnosť výskytu červenej je 18/38.
- Existuje 20 medzier, ktoré sú čierne alebo zelené, takže pravdepodobnosť, že sa červená nevyskytne, je 20/38.
Náhodná premenná
Čisté výhry na stávke na ruletu sa môžu považovať za diskrétnu náhodnú premennú. Ak vsadíme 1 dolár na červenú a červenú, vyhráme náš dolár späť a ďalší dolár. Výsledkom sú čisté výhry 1. Ak vsadíme $ 1 na červenú a zelenú alebo čiernu, stratíme dolár, ktorý vsadíme. To má za následok čisté výhry -1.
Náhodná premenná X definovaná ako čisté výhry zo stávok na červenú v rulete vezme hodnotu 1 s pravdepodobnosťou 18/38 a vezme hodnotu -1 s pravdepodobnosťou 20/38.
Výpočet očakávanej hodnoty
Vyššie uvedené informácie používame s vzorec pre očakávanú hodnotu. Pretože máme diskrétnu náhodnú premennú X pre čisté výhry, očakávaná hodnota stávky $ 1 na červenú v rulete je:
P (červená) x (hodnota X pre červenú) + P (nie červená) x (hodnota X pre nie červená) = 18/38 x 1 + 20/38 x (-1) = -0,053.
Interpretácia výsledkov
Pomáha zapamätať si význam očakávanej hodnoty pri interpretácii výsledkov tohto výpočtu. Očakávaná hodnota je do značnej miery mierou stredu alebo priemeru. Označuje, čo sa stane z dlhodobého hľadiska zakaždým, keď stavíme 1 dolár na červenú.
Aj keď by sme mohli v krátkom časovom horizonte vyhrať niekoľkokrát za sebou, z dlhodobého hľadiska stratíme v priemere pri každom hraní v priemere viac ako 5 centov. Prítomnosť 0 a 00 priestorov je taká veľká, aby poskytla domu malú výhodu. Táto výhoda je taká malá, že je ťažké ju odhaliť, ale nakoniec dom vždy vyhrá.