Z vety možno odvodiť niekoľko teorémov pravdepodobnosti pravdepodobnosti axiómov. Tieto vety sa dajú použiť na výpočet pravdepodobnosti, ktorú by sme si mohli želať vedieť. Jeden taký výsledok sa nazýva pravidlo doplňovania. Toto tvrdenie nám umožňuje vypočítať pravdepodobnosť udalosť poznaním pravdepodobnosti doplnku C. Po určení pravidla doplnku uvidíme, ako možno tento výsledok dokázať.
Doplnkové pravidlo
Doplnok akcie je označený C. Doplnok je sada - všetkých prvkov v univerzálnej súprave alebo - vzorový priestor S, ktoré nie sú prvkami súpravy .
Pravidlo doplnku je vyjadrené nasledujúcou rovnicou:
P (C) = 1 - P ()
Tu vidíme, že pravdepodobnosť udalosti a pravdepodobnosť jej doplnenia sa musia rovnať 1.
Dôkaz o doplnkovom pravidle
Aby sme dokázali pravidlo komplementu, začneme axiomami pravdepodobnosti. Tieto vyhlásenia sa považujú za bez dokladu. Uvidíme, že sa dajú systematicky používať na preukázanie nášho tvrdenia týkajúceho sa pravdepodobnosti doplnenia udalosti.
- Prvá axióma pravdepodobnosti je, že pravdepodobnosť akejkoľvek udalosti je nezáporná Reálne číslo.
- Druhou axiómom pravdepodobnosti je pravdepodobnosť celého priestoru vzorky S je jeden. Symbolicky píšeme P (S) = 1.
- Tretia axióma pravdepodobnosti uvádza, že ak a B sú vzájomne sa vylučujúce (čo znamená, že majú prázdnu križovatku), potom uvádzame pravdepodobnosť výskytu spojenie týchto udalostí ako P ( U B ) = P () + P (B).
Pre pravidlo doplnku nebudeme musieť používať prvú axiómu z vyššie uvedeného zoznamu.
Aby sme dokázali naše vyhlásenie, zvážime udalosti a C. Z teórie množín vieme, že tieto dve množiny majú prázdny priesečník. Je to preto, že prvok nemôže byť súčasne v oboch a nie v . Pretože existuje prázdny priesečník, tieto dve sady sú vzájomne sa vylučujúce.
Spojenie týchto dvoch udalostí a C sú tiež dôležité. Predstavujú vyčerpávajúce udalosti, čo znamená, že zväz z týchto udalostí je celý priestor vzorky S.
Tieto fakty spolu s axiómami nám dávajú rovnicu
1 = P (S) = P ( U C) = P () + P (C) .
Prvá rovnosť je spôsobená druhou pravdepodobnosťou axióma. Druhá rovnosť je kvôli udalostiam a C sú vyčerpávajúce. Tretia rovnosť je spôsobená treťou pravdepodobnosťou axióma.
Vyššie uvedená rovnica môže byť preusporiadaná do formy, ktorú sme uviedli vyššie. Všetko, čo musíme urobiť, je odpočítať pravdepodobnosť z oboch strán rovnice. teda
1 = P () + P (C)
sa stáva rovnicou
P (C) = 1 - P ().
Pravidlo by sme samozrejme mohli vyjadriť aj tým, že:
P () = 1 - P (C).
Všetky tri z týchto rovníc sú rovnocenné spôsoby, ako povedať to isté. Z tohto dôkazu vidíme, ako len dva axiómy a niektoré teórie množín prechádzajú dlhou cestou, aby nám pomohli dokázať nové tvrdenia týkajúce sa pravdepodobnosti.