V celej matematike a štatistike musíme vedieť, ako počítať. To platí najmä pre niektoré pravdepodobnosť problémy. Predpokladajme, že sme dostali celkom n odlišné objekty a chcete ich vybrať r z nich. To sa dotýka priamo oblasti matematiky známej ako kombinatorika, ktorá je štúdiom počítania. Dva z hlavných spôsobov, ako ich spočítať r predmety z n prvky sa nazývajú permutácie a kombinácie. Tieto koncepcie spolu úzko súvisia a ľahko sa dajú zameniť.
Aký je rozdiel medzi kombináciou a permutáciou? Kľúčovou myšlienkou je poriadok. Permutácia venuje pozornosť tomu, aby sme vybrali naše objekty. Rovnaký súbor objektov, ale braný v inom poradí, nám poskytne rôzne permutácie. Pri kombinácii stále vyberieme r objektov z celkom n, ale objednávka sa už neberie do úvahy.
Príklad permutácií
Na rozlíšenie medzi týmito myšlienkami zvážime nasledujúci príklad: koľko permutácií existuje dvoch písmen zo súboru {a, b, c}?
Tu uvádzame zoznam všetkých párov prvkov z danej množiny, pričom vždy venujeme pozornosť objednávke. Existuje celkom šesť permutácií. Zoznam všetkých z nich sú: ab, ba, bc, cb, ac a ca. Všimnite si, že ako permutácie
ab a ba sú odlišné, pretože v jednom prípade bol vybraný ako prvý a v druhom bol vybraný druhý.Príklad kombinácií
Teraz odpovieme na nasledujúcu otázku: Koľko kombinácií existuje z dvoch písmen zo sady {a, b, c}?
Keďže sa zaoberáme kombináciami, nezáleží nám na objednávke. Tento problém môžeme vyriešiť tým, že sa pozrieme späť na permutácie a potom odstránime tie, ktoré obsahujú rovnaké písmená. Ako kombinácie, ab a ba sú považované za rovnaké. Existujú teda iba tri kombinácie: ab, ac a bc.
vzorca
V situáciách, s ktorými sa stretávame s väčšími súbormi, je príliš časovo náročné vymenovať všetky možné permutácie alebo kombinácie a spočítať konečný výsledok. Našťastie existujú vzorce, ktoré nám dávajú počet permutácií alebo kombinácií n vzaté predmety r v tom čase.
V týchto vzorcoch používame skratku n! volal nfactorial. Faktoriál jednoducho hovorí, že znásobí všetky kladné celé čísla na hodnotu menšiu alebo rovnú n dohromady. Takže napríklad 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. Podľa definície 0! = 1.
Počet permutácií n vzaté predmety r súčasne je daný vzorcom:
P(n,r) = n!/(n - r)!
Počet kombinácií n vzaté predmety r súčasne je daný vzorcom:
C(n,r) = n!/[r!(n - r)!]
Vzorce v práci
Ak chcete zobraziť vzorce v práci, pozrime sa na prvý príklad. Počet permutácií množiny troch predmetov zhotovených po dvoch je daný vzťahom P(3,2) = 3!/(3 - 2)! = 6/1 = 6. Toto sa zhoduje s tým, čo sme získali vymenovaním všetkých permutácií.
Počet kombinácií množiny troch predmetov zhotovených naraz je daný:
C(3,2) = 3!/[2!(3-2)!] = 6/2 = 3. Opäť sa to presne zhoduje s tým, čo sme videli predtým.
Vzorce určite šetria čas, keď sme požiadaní, aby sme našli počet permutácií väčšej množiny. Napríklad, koľko permutácií existuje súbor desiatich predmetov zhotovených tri naraz? Chceli by sme chvíľu vymenovať všetky permutácie, ale so vzorcami vidíme, že by to bolo:
P(10,3) = 10!/(10-3)! = 10!/7! = 10 x 9 x 8 = 720 permutácií.
Hlavný nápad
Aký je rozdiel medzi permutáciami a kombináciami? Pointa je, že pri počítaní situácií, ktoré zahŕňajú objednávku, by sa mali používať permutácie. Ak objednávka nie je dôležitá, mali by ste použiť kombinácie.