Keď vidíme vzorce vytlačené v učebnici alebo napísané na tabuli učiteľom, je to niekedy prekvapujúce aby sme zistili, že mnohé z týchto vzorcov možno odvodiť z niektorých základných definícií a starostlivého premýšľania. Toto platí najmä v pravdepodobnosti pri skúmaní vzorca pre kombinácie. Odvodenie tohto vzorca sa skutočne spolieha iba na multiplikačný princíp.
Princíp multiplikácie
Predpokladajme, že existuje nejaká úloha a táto úloha je rozdelená do dvoch krokov. Prvý krok je možné vykonať v roku 2007 k spôsoby a druhý krok je možné urobiť v systéme Windows XP n spôsoby. To znamená, že po násobenie tieto čísla spolu, počet spôsobov, ako vykonať úlohu, je nk.
Napríklad, ak máte na výber desať druhov zmrzliny a tri rôzne polevy, koľko z jedného kopčeka, jednu polevu môžete pripraviť? Násobením troch po 10 získate 30 hodín.
Formovanie Permutácií
Teraz použite princíp multiplikácie na odvodenie vzorca pre počet kombinácií r prvky prevzaté zo súboru n prvky. nechať P (n, r) označuje číslo permutácie z r prvkov zo sady n a C (n, r) označuje počet kombinácií r prvkov zo sady n prvky.
Zamyslite sa nad tým, čo sa stane pri formovaní permutácie r prvkov z celkom n. Pozrime sa na to ako na dvojkrokový proces. Najprv vyberte množinu r prvkov zo sady n. Toto je kombinácia a existujú C(n, r) spôsoby, ako to urobiť. Druhým krokom v tomto procese je objednávka r prvky s r voľby pre prvé, r - 1 výber na druhý, r - 2 tretia, 2 predposledná a 1 posledná. Na základe princípu multiplikácie existujú r X (r -1) x... x 2 x 1 = r! spôsoby, ako to urobiť. Tento vzorec je písaný s faktoriálny zápis.
Odvodenie vzorca
Zhrnúť, P(n,r ), počet spôsobov, ako vytvoriť permutáciu r prvkov z celkom n je určený:
- Vytvára sa kombinácia r prvkov z celkového počtu n v ktoromkoľvek z C(n,r ) spôsoby
- Objednanie týchto r prvky ktorékoľvek z r! spôsoby.
Podľa princípu multiplikácie je počet spôsobov, ako vytvoriť permutáciu, taký P(n,r ) = C(n,r ) X r!.
Použitie vzorca na permutácie P(n,r ) = n!/(n - r)!, ktoré možno nahradiť vyššie uvedeným vzorcom:
n!/(n - r)! = C(n,r ) r!.
Teraz to vyriešite, počet kombinácií, C(n,r ) a vidieť to C(n,r ) = n!/[r!(n - r)!].
Ako je preukázané, trocha myslenia a algebry môže ísť dlhú cestu. Iné vzorce v pravdepodobnosti a štatistike možno odvodiť aj s opatrným použitím definícií.