Maximálne a inflexné body distribúcie Chi-Square

Matematická štatistika používa techniky rôznych odvetví matematiky, aby definitívne preukázal, že vyhlásenia týkajúce sa štatistík sú pravdivé. Uvidíme, ako pomocou počtu zistiť vyššie uvedené hodnoty maximálnej hodnoty chi-kvadrát rozdelenie, ktoré zodpovedá jeho režimu, rovnako ako nájsť inflexné body Distribúcia.

Predtým, ako to urobíme, budeme diskutovať o vlastnostiach maxima a inflexných bodov všeobecne. Preskúmame tiež metódu výpočtu maxima inflexných bodov.

Pre diskrétnu množinu údajov je režim najčastejšie sa vyskytujúcou hodnotou. V histograme údajov by to predstavovala najvyšší stĺpec. Keď poznáme najvyšší stĺpec, pozrieme sa na hodnotu údajov, ktorá zodpovedá základni tohto stĺpca. Toto je režim pre náš súbor údajov.

Rovnaká myšlienka sa používa pri práci s nepretržitou distribúciou. Tentoraz hľadáme režim a hľadáme najvyšší vrchol v distribúcii. Pre graf tohto rozdelenia je výška píku hodnota y. Táto hodnota y sa v našom grafe nazýva maximum, pretože je vyššia ako ktorákoľvek iná hodnota y. Režim je hodnota pozdĺž horizontálnej osi, ktorá zodpovedá tejto maximálnej hodnote y.

Aj keď sa môžeme jednoducho pozrieť na graf distribúcie, aby sme našli režim, s touto metódou sú problémy. Naša presnosť je len tak dobrá ako náš graf a pravdepodobne budeme musieť odhadnúť. Tiež môžu byť problémy s grafom našej funkcie.

Alternatívnou metódou, ktorá nevyžaduje grafovanie, je použitie kalkulu. Metóda, ktorú použijeme, je nasledovná:

1. Začnite s funkciou hustoty pravdepodobnosti F (X) pre našu distribúciu.
2. Vypočítajte prvý a druhý deriváty tejto funkcie: F '(X) a F ''(X)
3. Nastavte tento prvý derivát na nulu F '(X) = 0.
4. Vyriešiť X.
5. Zapojte hodnoty z predchádzajúceho kroku do druhého derivátu a vyhodnoťte. Ak je výsledok negatívny, potom máme lokálne maximum pri hodnote x.
6. Vyhodnotiť našu funkciu f (X) vo všetkých bodoch X z predchádzajúceho kroku.
7. Vyhodnoťte funkciu hustoty pravdepodobnosti na všetkých koncových bodoch jej podpory. Ak teda funkcia má doménu danú uzavretým intervalom [a, b], vyhodnotte funkciu v koncových bodoch a b.
8. Najvyššia hodnota v krokoch 6 a 7 bude absolútnym maximom funkcie. Hodnota x, kde sa toto maximum vyskytuje, je režim distribúcie.

Teraz prejdeme vyššie uvedenými krokmi na výpočet režimu distribúcie štvorcov pomocou r stupne slobody. Začneme funkciou hustoty pravdepodobnosti F(X), ktorý sa zobrazuje na obrázku v tomto článku.

F (X) = K X^{r / 2-1}e^{-x / 2}

Tu K je konštanta, ktorá zahŕňa funkcia gama a sila 2. Nepotrebujeme poznať špecifiká (môžeme sa na ne odvolávať na vzorec v obrázku).

Prvý derivát tejto funkcie je daný pomocou produktové pravidlo ako aj reťazové pravidlo:

F '( X ) = K (r / 2 - 1)X^{r / 2-2}e^{-x / 2} - (K / 2) X^{r / 2-1}e^{-x / 2}

Tento derivát sme nastavili na nulu a výraz na pravú stranu započítali:

0 = K x^{r / 2-1}e^{-x / 2} [(r / 2 - 1)X^-1- 1/2]

Od konštanty K, exponenciálna funkcia a X^{r / 2-1} sú nenulové, môžeme týmito stranami vyjadriť obe strany rovnice. Potom máme:

0 = (r / 2 - 1)X^-1- 1/2

Vynásobte obe strany rovnice číslom 2:

0 = (r - 2)X^-1- 1

1 = (r - 2)X^-1a sme na záver tým, že x = r - 2. Toto je bod pozdĺž horizontálnej osi, kde sa režim vyskytuje. Označuje X hodnota vrcholu našej distribúcie chí-kvadrát.

Ďalším znakom krivky je spôsob, akým je krivka. Časti krivky môžu byť konkávne, ako veľké písmená U. Krivky môžu byť tiež konkávne dole a môžu mať tvar križovatka symbol ∩. Tam, kde sa krivka mení z konkávneho na konkávny smerom nahor alebo naopak, máme inflexný bod.

Druhá derivácia funkcie deteguje konkávnosť grafu funkcie. Ak je druhý derivát pozitívny, krivka je konkávna. Ak je druhý derivát negatívny, krivka je konkávna dole. Keď sa druhá derivácia rovná nule a graf funkcie zmení konkávnosť, máme inflexný bod.

Aby sme našli inflexné body grafu:

1. Vypočítajte druhý derivát našej funkcie F ''(X).
2. Nastavte tento druhý derivát na nulu.
3. Vyriešte rovnicu z predchádzajúceho kroku pre X.

Teraz vidíme, ako postupovať podľa vyššie uvedených krokov pre distribúciu chí-kvadrát. Začneme diferenciáciou. Z vyššie uvedenej práce sme videli, že prvý derivát pre našu funkciu je:

F '(X) = K (r / 2 - 1) X^{r / 2-2}e^{-x / 2} - (K / 2) X^{r / 2-1}e^{-x / 2}

Znovu rozlišujeme pomocou pravidla produktu dvakrát. Máme:

F ''( X ) = K (r / 2 - 1) (r / 2 - 2)X^{r / 2-3}e^{-x / 2} - (K / 2) (r / 2 - 1)X^{r / 2-2}e^{-x / 2} + (K / 4) X^{r / 2-1}e^{-x / 2} - (K / 2) (r / 2 - 1) X^{r / 2-2}e^{-x / 2}

Nastavili sme to na nulu a obe strany delíme ku^{-x / 2}

0= (r / 2 - 1) (r / 2 - 2)X^{r / 2-3}- (1/2) (r / 2 - 1)X^{r / 2-2}+ (1/ 4) X^{r / 2-1}- (1/ 2)(r/2 - 1) X^{r / 2-2}

Kombináciou podobných výrazov máme:

(r / 2 - 1) (r / 2 - 2)X^{r / 2-3}- (r / 2 - 1)X^{r / 2-2}+ (1/ 4) X^{r / 2-1}

Vynásobte obe strany číslom 4X^{3 - r / 2}, to nám dáva:

0 = (r - 2) (r - 4) - (2r - 4)X+ X^2.

Kvadratický vzorec sa teraz môže použiť na riešenie X.

X = [(2r - 4) +/- [(2r - 4)² - 4 (r - 2) (r - 4)]^1/2]/2

Rozširujeme podmienky, ktoré sa berú na 1/2 sily, a vidíme nasledujúce:

(4r² -16r + 16) - 4 (r² -6r + 8) = 8r - 16 = 4 (2r - 4)

To znamená, že:

X = [(2r - 4) +/- [(4 (2r - 4)]]^1/2] / 2 = (r - 2) +/- [2r - 4]^1/2

Z toho vidíme, že existujú dva inflexné body. Tieto body sú symetrické, pokiaľ ide o spôsob distribúcie, pretože (r - 2) je v polovici medzi dvoma inflexnými bodmi.

Vidíme, ako obe tieto vlastnosti súvisia s počtom stupňov slobody. Tieto informácie môžeme použiť na pomoc pri navrhovaní distribúcie chí-kvadrátov. Môžeme tiež porovnať toto rozdelenie s ostatnými, napríklad s normálnym rozdelením. Vidíme, že inflexné body pre distribúciu chí-kvadrát sa vyskytujú na rôznych miestach ako je inflexné body pre normálne rozdelenie.