Chebyshevova nerovnosť hovorí, že aspoň 1 -1 /K2 údajov zo vzorky musia spadať Ksmerodajné odchýlky z Priemerný, kdeK je pozitívny Reálne číslo väčší ako jeden. To znamená, že nemusíme poznať tvar distribúcie našich údajov. Iba s priemerom a štandardnou odchýlkou môžeme určiť množstvo údajov s určitým počtom štandardných odchýlok od priemeru.
Nasleduje niekoľko problémov, ktoré sa dajú precvičiť pomocou nerovnosti.
Príklad č. 1
Trieda druhého porovnávača má priemernú výšku päť stôp so štandardnou odchýlkou jeden palec. Aspoň aké percento v triede musí byť medzi 4´10 “a 5´2”?
Riešenie
Výšky, ktoré sú uvedené vo vyššie uvedenom rozsahu, sú v rámci dvoch štandardných odchýlok od strednej výšky päť stôp. Chebyshevova nerovnosť hovorí, že aspoň 1 - 1/22 = 3/4 = 75% triedy je v danom výškovom rozsahu.
Príklad č. 2
Zistilo sa, že počítače z konkrétnej spoločnosti vydržia priemerne tri roky bez akejkoľvek hardvérovej poruchy, so štandardnou odchýlkou dva mesiace. Aspoň aké percento počítačov vydrží medzi 31 mesiacmi a 41 mesiacmi?
Riešenie
Priemerná životnosť troch rokov zodpovedá 36 mesiacom. Časy 31 mesiacov až 41 mesiacov sú každý 5/2 = 2,5 štandardných odchýlok od priemeru. Podľa Chebyshevovej nerovnosti najmenej 1 - 1 / (2,5) 62 = 84% počítačov vydrží od 31 mesiacov do 41 mesiacov.
Príklad č. 3
Baktérie v kultúre žijú priemerne tri hodiny so štandardnou odchýlkou 10 minút. Aká časť baktérií žije aspoň dve až štyri hodiny?
Riešenie
Dve a štyri hodiny sú každú hodinu mimo priemeru. Jedna hodina zodpovedá šiestim smerodajným odchýlkam. Aspoň 1 - 1/62 = 35/36 = 97% baktérií žije od dvoch do štyroch hodín.
Príklad č. 4
Aký je najmenší počet štandardných odchýlok od priemeru, ktorý musíme urobiť, ak chceme zabezpečiť, aby sme mali aspoň 50% údajov o distribúcii?
Riešenie
Tu používame Chebyshevovu nerovnosť a pracujeme pozadu. Chceme 50% = 0,50 = 1/2 = 1 - 1 /K2. Cieľom je použiť algebra na vyriešenie K.
Vidíme, že 1/2 = 1 /K2. Kríž sa znásobí a uvidí, žeK2. Berieme druhú odmocninu oboch strán a odvtedy K je množstvo štandardných odchýlok, ignorujeme záporné riešenie rovnice. To ukazuje, že K sa rovná druhej odmocnine dvoch. Aspoň 50% údajov je teda v rozmedzí približne 1,4 smerodajnej odchýlky od priemeru.
Príklad č. 5
Autobusová trasa č. 25 trvá v priemere 50 minút so štandardnou odchýlkou 2 minúty. Propagačný plagát pre tento autobusový systém uvádza, že „95% časovej autobusovej trasy č. 25 trvá od ____ do _____ minút.“ S akými číslami by ste vyplnili prázdne miesta?
Riešenie
Táto otázka je podobná tej poslednej, v ktorej musíme vyriešiť Kpočet štandardných odchýlok od priemeru. Začnite nastavením 95% = 0,95 = 1 - 1 /K2. To ukazuje, že 1 - 0,95 = 1 /K2. Zjednodušte, aby ste videli, že 1 / 0,05 = 20 = K2. tak K = 4.47.
Teraz to vyjadrte vyššie uvedenými podmienkami. Najmenej 95% všetkých jázd predstavuje 4,47 štandardných odchýlok od priemernej doby 50 minút. Vynásobte 4,47 štandardnou odchýlkou 2, aby ste skončili s deviatimi minútami. Takže 95% času trvá cesta autobusom č. 25 medzi 41 a 59 minútami.