Monopol je dosková hra, v ktorej hráči začnú dávať kapitalizmus do akcie. Hráči kupujú a predávajú nehnuteľnosti a navzájom si účtujú nájomné. Hoci existujú sociálne a strategické časti hry, hráči pohybujú figúrkami okolo hracej plochy dvoma štandardnými šesťstrannými kockami. Pretože to riadi, ako sa hráči pohybujú, je tu tiež aspekt pravdepodobnosti hry. Ak vieme len pár faktov, môžeme vypočítať, aké je pravdepodobné, že dôjde k pristátiu v určitých priestoroch počas prvých dvoch zákrut na začiatku hry.
Kocky
Na každom kole hráč hodí dvoma kockami a potom pohne figúrkou, ktorá má na hracej ploche mnoho medzier. Preto je užitočné preskúmať pravdepodobnosti hodenia dvoma kockami. V súhrne sú možné tieto sumy:
- Súčet dvoch má pravdepodobnosť 1/36.
- Súčet troch má pravdepodobnosť 2/36.
- Súčet štyroch má pravdepodobnosť 3/36.
- Súčet piatich má pravdepodobnosť 4/36.
- Súčet šiestich má pravdepodobnosť 5/36.
- Súčet sedem má pravdepodobnosť 6/36.
- Súčet osem má pravdepodobnosť 5/36.
- Súčet deväť má pravdepodobnosť 4/36.
- Súčet desať má pravdepodobnosť 3/36.
- Súčet jedenástich má pravdepodobnosť 2/36.
- Súčet dvanástich má pravdepodobnosť 1/36.
Ako budeme pokračovať, tieto pravdepodobnosti budú veľmi dôležité.
Monopoly Gameboard
Musíme si tiež vziať na vedomie hraciu plochu Monopoly. Okolo hernej plochy je celkom 40 miest, z ktorých 28 je možné kúpiť, železnice alebo inžinierske siete. Šesť medzier zahŕňa vytiahnutie karty z hromád šance alebo komunitnej hrudi. Tri priestory sú voľné priestory, v ktorých sa nič nestane. Dva priestory zahŕňajúce platenie daní: buď daň z príjmu alebo luxusná daň. Jeden priestor pošle hráča do väzenia.
Budeme brať do úvahy iba prvé dve otočky hry Monopoly. V priebehu týchto zákrut je najvzdialenejšie, aby sme sa dostali okolo hracej plochy, dvakrát sa valiť dvanásť a presunúť celkom 24 medzier. Preskúmame teda iba prvých 24 medzier na tabuli. Aby tieto priestory boli:
- Mediterranean Avenue
- Hrudník spoločenstva
- Baltic Avenue
- Daň z príjmu
- Čítanie železnice
- Oriental Avenue
- šanca
- Vermont Avenue
- Daň z Connecticutu
- Stačí navštíviť väzenie
- St. James Place
- Elektrická spoločnosť
- States Avenue
- Virginia Avenue
- Pennsylvania Railroad
- St. James Place
- Hrudník spoločenstva
- Tennessee Avenue
- New York Avenue
- Parkovanie zdarma
- Kentucky Avenue
- šanca
- Indiana Avenue
- Illinois Avenue
Prvé odbočenie
Prvý obrat je pomerne jednoduchý. Pretože máme pravdepodobnosť, že hodíme dve kocky, jednoducho ich porovnáme s príslušnými štvorcami. Napríklad druhým priestorom je štvorec hrudníka v komunite a existuje pravdepodobnosť 1/36 presunutia súčtu dvoch. Existuje teda pravdepodobnosť, že pri prvom otočení dôjde k pristátiu na hrudi Spoločenstva.
Nižšie sú uvedené pravdepodobnosti pristátia na nasledujúcich miestach pri prvom otočení:
- Komoda na hrudníku - 1/36
- Baltic Avenue - 2/36
- Daň z príjmu - 3/36
- Čítanie železnice - 4/36
- Oriental Avenue - 5/36
- Šanca - 6/36
- Vermont Avenue - 5/36
- Daň z Connecticutu - 4/36
- Just Visiting Jail - 3/36
- James Place - 2/36
- Elektrická spoločnosť - 1/36
Druhé kolo
Vypočítanie pravdepodobností do druhého kola je o niečo zložitejšie. Môžeme prevrátiť celkom dve na oboch odbočkách a ísť minimálne štyri medzery, alebo celkom 12 na obidve odbočky a ísť maximálne 24 medzier. K dispozícii môžu byť aj medzery medzi 4 a 24. Ale to sa dá urobiť rôznymi spôsobmi. Napríklad by sme mohli presunúť celkom sedem medzier presunom niektorej z nasledujúcich kombinácií:
- Dva medzery v prvom kole a päť medzier v druhom kole
- Tri medzery v prvom kole a štyri medzery v druhom kole
- Štyri medzery v prvom kole a tri medzery v druhom kole
- Päť medzier v prvom kole a dva medzery v druhom kole
Pri výpočte pravdepodobností musíme vziať do úvahy všetky tieto možnosti. Hádzanie každého ťahu je nezávislé od hodu nasledujúceho ťahu. Nemusíme sa teda obávať podmienená pravdepodobnosť, ale stačí znásobiť každú pravdepodobnosť:
- Pravdepodobnosť rozmiestnenia dvoch a potom päť je (1/36) x (4/36) = 4/1296.
- Pravdepodobnosť rozmiestnenia trojky a potom štvorky je (2/36) x (3/36) = 6/1296.
- Pravdepodobnosť valcovania štyri a potom troch je (3/36) x (2/36) = 6/1296.
- Pravdepodobnosť rozmiestnenia piatich a potom dvoch je (4/36) x (1/36) = 4/1296.
Pravidlo vzájomného výhradného pridávania
Rovnakým spôsobom sa vypočítajú aj ďalšie pravdepodobnosti pre dve zákruty. V každom prípade musíme zistiť všetky možné spôsoby, ako získať celkovú sumu zodpovedajúcu tomuto štvorcu hracej dosky. Nižšie sú uvedené pravdepodobnosti pristátia (zaokrúhlené na najbližšiu stotinu percenta) na nasledujúcich miestach v prvom kole:
- Daň z príjmu - 0,08%
- Čítanie železnice - 0,31%
- Oriental Avenue - 0,77%
- Šanca - 1,54%
- Vermont Avenue - 2,70%
- Daň z Connecticutu - 4,32%
- Just Visiting Jail - 6,17%
- James Place - 8,02%
- Elektrická spoločnosť - 9,65%
- Štáty Avenue - 10,80%
- Virginia Avenue - 11,27%
- Pennsylvania Railroad - 10,80%
- James Place - 9,65%
- Hrudník komunity - 8,02%
- Tennessee Avenue 6,17%
- New York Avenue 4,32%
- Parkovanie zadarmo - 2,70%
- Kentucky Avenue - 1,54%
- Šanca - 0,77%
- Indiana Avenue - 0,31%
- Illinois Avenue - 0,08%
Viac ako tri odbočky
Vo viacerých ohľadoch je situácia ešte zložitejšia. Jedným z dôvodov je to, že ak v pravidlách hry zdvihneme trojnásobok v rade, ideme do väzenia. Toto pravidlo ovplyvní naše pravdepodobnosti spôsobmi, ktoré sme predtým nemuseli zvažovať. Okrem tohto pravidla existujú aj náhodné a komunitné karty na hrudi, ktoré nezohľadňujeme. Niektoré z týchto kariet usmerňujú hráčov, aby preskočili medzery a šli priamo do konkrétnych priestorov.
Kvôli zvýšenej výpočtovej zložitosti sa pomocou metód Monte Carlo ľahšie vypočíta pravdepodobnosť na viac ako pár otočení. Počítače môžu simulovať stovky tisíc, ak nie milióny hier monopolu, a pravdepodobnosť pristátia v každom priestore sa dá vypočítať empiricky z týchto hier.